Oinarrizko prozesuak, gas ideale(t)an
Ondorengo ariketetako helburua da Sistema sinplea gaian aztertutakoak lantzea eta horietaz jabetzea. Kontua da, gauzak egiten joateko, benetako sistema bat beharrezkoa dela. Hortaz, ariketak proposatuta daude gas ideala gaia aztertutakoan. Horrela, sistema jakina izango dugu esku artean, masa konstanteko sistema hidrostatiko jakina, bi askatasun-gradukoa baino ez: mekanikoa eta termikoa. Horiek egoera-ekuazio bana dute lotuta
Honako hau da ariketak ebazteko estrategia:
- Bildu enuntziatuak sistemari buruz ematen digun informazioa:
- egoera-ekuazioak
- koefiziente esperimentalak
- prozesu bereziekin lotutako informazioa…
- Bildu sistemaren egoerekin lotutako informazioa:
- hasierakoa, bukaerakoa, tartekoak…
- prozesuarekin lotutako informazioa bildu:
- baldintza esperimentalak
- aldagairen batek konstante dirauen…
- Aukeratu deskribapenerako aldagai independenteen sorta
Aldagairen batek konstante badirau, aukeratu aldagai independentetzat. Horrek, prozesuarekin lotutako aldaketa infinitesimalaren adierazpena erraztuko: konstantea den aldagaiaren aldaketa diferentzialak ez du ekarpenik egingo, eta integratu beharreko ekuazioa diferentzialak atal bakarra izango du.
Konbinatu, prozesu jakinaren kasuan, egoera-ekuazioetan dagoen informazioa eta baldintza esperimentalek finkatzen dutena. Hau da:
- egoera-ekuazioak deskribatzen ditu sistemarekin lotuta dauden egoera posible denak.
- Prozesuak aukeratzen ditu posibleak diren horietatik (egoera-ekuazioak deskribatzen dituen horietatik) baldintza esperimental jakinak betetzen dituenak: idatzi informazio hori.
Sistema: gas ideala
>Prozesua: T konstantea
Egoera-ekuazio mekanikoa: p\, V\, =\, n\,R\,T
…baina T konstante denez, n\,R\,T ere bai.
Orduan, honako hau izango dugu:
p\,V\,=\,konstante
Iruzkinak
- Gas idealen bero-ahalmenak:
- konstanteak dira
- Mayer-en erlazio orokortua erabiliz haien kasuan, honako hau da C_{p} eta C_{V} bero-ahalmen arteko erlazioa:
C_{p} - C_{V} = T \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_V
\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p\equiv\dfrac{1}{T}
\left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T\equiv\dfrac{1}{p}
C_{p} - C_{V} = nR
C = c \,nR\Rightarrow C_{p,V}=c_{p,V}\,nR
\boxed{c_{p} - c_{V} = 1}
- Gas ideal monoatomikoetan: c_{V}=\frac{3}{2}
- Gas ideal diatomikoetan: c_{V}=\frac{5}{2}
- Gas ideal monoatomikoetan: c_{V}=\frac{3}{2}
- konstanteak dira
- Edozein ariketa egiteko, bi motako informazioa erabili behar da:
- sistemari buruzkoa:
- egoera-ekuazioak, koefiziente esperimentalak…
- oreka-egoeraren bat
- egoera-ekuazioak, koefiziente esperimentalak…
- prozesuari buruzkoa:
- kuasiestatiko izan behar du prozesuak
ez bada, barne-energiaren aldaketa baino ezin da kalkulatu
- aipatutako egoeraren bat horrek egon behar du prozesuan
- kuasiestatiko izan behar du prozesuak
- sistemari buruzkoa:
1. ARIKETA
Bereizte-horma diatermoz inguraturiko gas ideala dugu esku artean; T_0 tenperaturako bero-iturriarekin ukipenean eta, berebat, hasierako p_{i} presioko presio-iturriarekin ukipenean. Presio-iturriaren presioa p_{f} balioraino kuasiestatikoki aldatu da. Lortu honako hauek:
- egindako lana,
- trukaturiko beroa
- gasaren barne-energiaren aldaketa.
Prozesu isotermoa fisikoki aurrera eramateko eratu daitekeenaren adierazpide grafikoa.
Erantzunen ordena aldatuko dut.
- Bero-iturriarekin ukipenean gertatzen den prozesuan tenperatura konstantea da; prozesu isotermoa da, beraz.
\left. \begin{array}{l} \Delta U = c_V nR\Delta T \\ \Delta T = 0 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \boxed{\Delta U = 0}
- Tenperatura konstantea denez, prozesuaren ibilbidea finkatuta dago eta lana, esaterako (diferentzial ez-zehatza) kalkulatu daiteke, ibilbidean integratuz. Kalkulatuko dut lana. Horretarako, p=p(T, V) funtzioa, prozesuarena, adieraziko dut.
W = - \int \frac{nRT}{V}dV
- eta tenperatura konstantea denez:
W = - \int nRT \frac{1}{V}dV
\boxed{W = -nRT \ln \frac{V_{f}}{V_{i}} }
- edo, egoera-ekuazioa erabilita:
W = -nRT \ln \frac{p_{i}}{p_{f}}
- Azkenik, beroa kalkulatzeko, prozesu osoari, makroskopikoari, lehen printzipioa aplikatuko diot, diferentziaz kalkulatu daitekeela esaten da:
\boxed {Q = -W }
Interpretatu dezadan aurreko emaitza. Bero-iturriarekin ukipen termikoan gertatu den prozesua denez, tenperatura konstantea da. Ondorioz, gas idealaren barne-energiaren edukia ezin da aldatu: hasierakoa bukaerakoaren berdina da. Baina, gas ideala zabalduko da, kuasiestatikoki eta, beraz, ingurunearekin lotura mekanikoa duela; hau da, lana egin du, kanporatu du, kasu honetan. Horrek energiaren edukia beheratuko du. Bero-iturritiko bero-xurgapenak konpentsatuko du beherapena. Barne-energiaren edukia aldatu gabe lana egin ahal izateko beroa xurgatu behar du bero-iturritik. Beroa lan bihurtuko da, sistema tartekari moduan erabilita.
2. ARIKETA
Pistoi batek, M masakoa eta s sekzioko horma diatermo eta iragaztezinezko zilindro bertikal batean dagoena bera, 1 mol gas itxi du. Bero-iturrien segida infinituarekin ukipenean jarriz, T_{1}-etik T_{2}-ra pasarazi da gasaren tenperatura. Lortu honako hauek:
- Hasierako eta amaierako egoeren presioa eta bolumena,
- Q, W eta \Delta U.
Kontuan izan honako hauek: C_{V} eta C_{p} konstanteak direla, pistoiaren beste aldean hutsa dagoela eta, azkenik, grabitateak soilik duela eragina pistoiaren gainean.
Prozesu isobaroa fisikoki aurrera eramateko eratu daitekeenaren adierazpide grafikoa.
Tenperatura era kuasiestatikoan aldatzeko, bero-iturrien sorta batekin ukipen termikoan jarri behar da sistema. Kasu honetan, presio konstantea eragingo duen pistoia dago zilindroa ixten; beraz, gertatuko den prozesua presio konstantekoa da, isobaroa p=\frac{Mg}{s}, esan bezala. Tenperaturak gora egiten duen heinean, presioa konstantea denez, bolumenak ere bai gora egingo du: proportzionalak dira bolumena eta tenperatura (egoera-ekuazio mekanikoa), presioa konstante denean.
- Bolumena kalkulatzeko egoera-ekuazioa erabiliko da: pV = nRT \Rightarrow V = \frac{nRT}{p}
pV = nRT \Rightarrow V = \frac{nRT}{p} \Rightarrow V_{f} = \frac{nRT_{f}}{p} \Rightarrow \boxed{V_{f} = \frac{s}{Mg}nRT_{f} }
- Barne-energia kalkulatzeko, egoera-funtzioa denez (diferentzial zehatza), berdin dio nolakoa izan den prozesua, zer ibilbidetan gertatu den. Egoera-ekuazio termikoaren bidez lor daiteke beti barne-energiaren aldaketa.
\Delta U = c_{V} nR \Delta T \Rightarrow \boxed{\Delta U = c_{V} nR (T_{f}-T_{i}) }
- Lanari dagokionez, kontuan hartuko dut prozesua isobaroa izan dela:
W = -\int pdV \Rightarrow W = -p \int dV \Rightarrow W = -p \Delta V \Rightarrow
W =-\frac{Mg}{s}\frac{s}{Mg} nR(T_{f}-T_{i}) \Rightarrow \boxed{W = -nR(T_{f}-T_{i}) }
- Beroa kalkulatzeko, berriro ere bai diferentziaz egin daiteke:
Q = c_{V} nR (T_{f}-T_{i}) - \{ -nR(T_{f}-T_{i}) \} \Rightarrow Q=(c_{V}+1) nR (T_{f}-T_{i}) \Rightarrow \boxed{Q=c_{p} nR (T_{f}-T_{i}) }
Konturatu behar da, zuzenean kalkulatu daitekeela, kasu honetan, gas idealak trukatu duen beroa, ezaguna baita nola gertatu den prozesua, presio konstantean. Orduan, koefiziente esperimentalaren definiziotik abiatuta lor daiteke, kasu honetan, presio konstanteko bero-ahalmena.
Azken adierazpena idazteko gas idealaren Mayer-en erlazioa erabili dut: c_{p}=c_{V}+1. Edo: C_{p}=C_{V}+nR.
3. ARIKETA
Aurreko ariketako sistema berbera dugu; beraz, gas ideala dugu esku artean. Kasu honetan, ordea, bolumena konstante mantenduko dugu. Horretarako, pistoiaren gainean area era jarraituan botako dugu. Lortu:
- Botatako are kantitatea,
- Q, W eta \Delta\,U.
Prozesu isokoroa fisikoki aurrera eramateko eratu daitekeenaren adierazpide grafikoa.
Oraingo honetan, berriro ere bai, bero-iturrien sorta erabiliz, sistemaren tenperatura aldatuko da T_{1}etik T_{2}ra; baina, bolumena konstante mantenduz. Tenperatura-aldaketak berarekin lotuta dakarren bolumen-aldaketa (presioa konstante mantenduz), presioa aldatuz konpentsatuko dugu. Kasu honetan, presioak segituko dio tenperaturari: pV = nRT \Rightarrow p \propto T, \frac{nRT}{V} konstantea baita.
\left. \begin{array}{l} \left. {\begin{array}{c} {V_{i} = V_{f} = V} \\ \begin{array}{l} p_i = \frac{nRT_{i}}{V} \\ p_f = \frac{nRT_{f}}{V} \\ \end{array} \\ \end{array}} \right\} \Rightarrow \Delta p = \frac{nR}{V}\left( {T_{f} - T_{i} } \right) \\ \Delta p = \frac{g}{s}\Delta m_{a} \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{g}{s}\Delta m_{a} = \frac{nR}{V}\Delta T \Rightarrow \boxed{\Delta m_{a} = \frac{s}{g}\frac{nR}{V}\Delta T}
- Betiko eran, barne-energiari berdin dio prozesu mota:
\Delta U = c_{V} nR \Delta T \Rightarrow \boxed{\Delta U = c_{V} nR (T_{f}-T_{i}) }
- Lana kalkulatzea oso erraza da, bolumena konstantea baita.
W = -\int pdV \Rightarrow W = -p \int dV \Rightarrow W = -p \Delta V \Rightarrow W = 0
bolumena konstantea baita.
- Azkenik, beroari dagokionez, lanik egin ez duenez sistemak, barne-energiaren aldaketaren berdina da.
Q = \Delta U \Rightarrow \boxed{Q = c_{V} nR (T_{f}-T_{i}) }
- Baina hori argi zegoen: bolumen konstanteko prozesua izanik, ezaguna ibilbidea, eta trukatutako beroa lortu daiteke C_{V} bero-ahalmena zuzenean integratuz:
C_{V} \equiv \frac{\delta Q}{dT} \Rightarrow \delta Q = C_{V}\,dT \Rightarrow Q = C_{V}\Delta T
Aurreko ariketan gertatu den modu berean ere, oraingo honetan bero-kantitatea lortzeko, prozesua gertatu den baldintzak kontuan hartuz, zuzenean kalkulatu daiteke: presioa konstante mantenduz edo bolumena konstante mantenduz, bero-ahalmenaren definizioa aplikatuz:
C = {(\frac {\delta Q}{dT})}_{\textrm{baldintzak}} \Rightarrow \delta Q = C_{\textrm{baldintzak}} dT
\int \delta Q = \int C_{\textrm{baldintzak}} dT
4. ARIKETA
Aurreko ariketako zilindroaren hormak adiabatikoak direla onartuko dugu, oraingo honetan, eta hasierako tenperatura, T_{i}.
- Zenbateko masa kantitate gehitu behar diogu pistoiari kuasiestatikoki, bukaerako tenperatura T_{f}=k\,T_{i} izateko?
- Lortu Q, W eta \Delta U.
Prozesu adiabatikoa, ikusiko denez, isoentropikoa bera, fisikoki aurrera eramateko eratu daitekeenaren adierazpide grafikoa.
Prozesua adiabatikoa da; eta, beraz, sistemaren oreka-egoera ezaugarrituko dituzten aldagai guztien balioak aldatuko dira; ez edozein modutan, jakina, ondoko adierazpenetako bati segituz:
pV^{\gamma}=C
Tp^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=C'
TV^{\gamma-1}=C''
Egoera-ekuazioa bera eta horietako bigarrena erabiliko dut, bukaerako oreka-egoerarekin lotutako aldagaien balioak kalkulatzeko:
Hasierako egoera: (T_{i}, p_{i}=\frac{Mg}{s}, V_{i}=\frac{nRT_{i}}{\frac{Mg}{s}})
Bukaerako egoera: (T_{f}=kT_{i}, p_{f}=\frac{(M+\Delta m)g}{s}, V_{f}=\frac{nRT_{f}}{p_{f}})
\left. \begin{array}{l} p_{f}=p_{i}(\frac{T_{i}}{T_{f}})^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}\\ p_{f}=\frac{(M+\Delta m)g}{s}\\ \end{array} \right\} \Rightarrow \boxed{\Delta m = M[k^{\gamma /(\gamma-1)}-1] }
- Prozesua adiabatikoa izan denez, honako hau bete da:
\boxed{Q=0}
- Lehen Printzipioa aplikatuz, ondoko hau izango dugu: \Delta U = W
\Delta U = c_{V}nR(T_{f}-T_{i}) \Rightarrow \boxed{\Delta U = W = c_{V}nR\Delta T }
Prozesu berezi-berezia
5. ARIKETA
Berogailu elektrikoaren bidez 500 m^3-ko ikasgelaren tenperatura 10 graduan jaso dugu. Ikasgelaren presioak konstante dirau, zabalik dagoen leiho bati esker. Airea gas ideala dela onartuz, zenbatekoa izan da airearen barne-energiaren aldaketa?
Enuntziatuaren arabera gelako presioa eta bolumena ez dira aldatu; eta, hala ere, tenperatura aldatu da. Nola da posible hori? Printzipioz, egoera-ekuazioak presio, tenperatura eta bolumena lotzen ditu. Horietako bi finkaturik egonez gero, hirugarrena ere finkatuta dago. Baina, hori egia da, masa konstanteko sistemen kasuan. Aztertu beharreko sisteman, aldiz, masa ez da konstantea: leihoa zabalik dago. Deskribatutako prozesuan masa aldakorreko sistema dugu, ez masa konstantekoa, orain arte izan dugun moduan. Jakina, hori da arrazoia tenperatura aldatzeko.
Gelako gasa idealtzat hartu daitekeenez, ondokoa da barne-energiari dagokion adierazpena (egoera-ekuazio termikoa): U = c_{V} nR T + K. Barne-energiaren aldaketa lortzeko prozesuan parte hartu duten aldagaien aldaketak kontuan hartu behar ditugu. Gure kasuan dn eta dT, esan bezala. Ondokoa da dugun barne-energiaren aldaketa diferentziala:
dU = d(c_{V} n R T) \Rightarrow dU = c_{V} d(nRT)
nRT = pV, konstantea dena; presioa eta bolumena aldatu ez baitira. Beraz \boxed{dU = 0}. Barne-energiaren aldaketa nulua: masa-aldaketak tenperatura-aldaketa konpentsatuko du.
Gas idealak, aplikazioak
6. ARIKETA
Zein da prozesu politropiko baten malda p/V diagraman?
Ondokoa da prozesu politropikoaren definizioa: pV^{j}= C. Horrelako prozesuari dagokion malda, p/V diagraman, lortu behar denez, ondoko koefizientea kalkulatu behar da: \frac{dp}{dV}.
pV^{j}= C
d(pV^{j})=0 \Rightarrow V^{j}dp + pjV^{j-1}=0 \Rightarrow dp= -\frac{p}{V} dV
\boxed{\frac{dp}{dV}= -j\frac{p}{V}}
j-ren balio konkretuek prozesu jakin batzuk definituko dituzte:
- j=\gamma prozesu adiabatikoa: (S= kons.)
- j=1 prozesu isotermoa: (T= kons.)
- j=0 prozesu isobaroa: (p= kons.)
- j=\infty prozesu isokoroa: (V= kons.)
7. ARIKETA
Airearen jokaera gas idealarena dela onartuz eta Hidrostatikaren Ekuaziotik abiatuz (\textrm{d}\,p = - \rho g\,\textrm{d}\,h), lortu presioak altuerarekiko duen mendekotasuna.
dp = - \rho gdh, non
- p presioa
- g grabitatea
- \rho airearen dentsitatea (\rho=\frac{m}{V}: m airearen masa)
- h altuera; Lurraren gainazalarekiko neurtuta: erreferentzian h=0
Airea gas ideal moduan aztertu daitekeenez, enuntziatuaren arabera, gas idealaren egoera-ekuazio mekanikoa erabiliko da: pV=nRT, non n=\frac{m}{M_{m}} mol-kopurua den. Informazio hori guztia esku artean dugula honako adierazpena lortu daiteke:
p \frac{m}{\rho} = \frac{m}{M_{m}}RT \Rightarrow p = \frac{RT}{M_{m}} \rho
Edo beste modua batean idatzita; eta abiapuntuko adierazpenean ordezkatuta:
\rho = \frac{pM_{m}}{RT} \Rightarrow dp = -\frac{gM_{m}}{RT} p dh \Rightarrow \boxed{\frac{dp}{p} = -\frac{gM_{m}}{RT}dh }
Azken ekuazio diferentzial hori integratu behar da. Horretarako, T=T(h) funtzioa ezagutu beharko genuke. Demagun, dena den, integratu beharreko altuera-tartean (presio-tartean) tenperatura konstantetzat hartu daitekeela (lerro isotermoan integratzen ari gara, beraz). Horrela izanik, ekuazio diferentzialeko aldagaiak banatuta daude; eta integrazioa zuzena da:
\boxed{\ln{\frac{p}{p_{0}}} = -\frac{gM_{m}}{RT}\Delta h} \Rightarrow \boxed{p=p_{0}e^{-\frac{gM_{m}}{RT}h}}
8. ARIKETA
Fisikari mendizale batek honako altimetroa hau asmatu du: \gamma konstante adiabatikoko gas idealez beteriko goma elastikoz egindako esferatxo adiabatikoa. Nola erabil dezake asmakizuna?
Aurreko ariketan lortu den emaitzaren arabera, zenbat eta Lurraren gainazalarekiko altuera handiagoa izan hainbat eta presioaren balio txikiagoak neurtuko dira; beti ere tenperatura aldatuko ez dela onartuko badugu. Altimetroa zer altueratan gauden jakiteko erabiliko dugu; kasu honetan, gauden altuera presioarekin lotuta dago Hidrostatikaren Ekuazioaren bidez. Mendian gora egiten den heinean, presioak (egurats-presioak) behera egiten duenez, esku artean dugun esferatxo adiabatikoaren bolumenak gora egiten du. Esferatxo adiabatikoa adiabatikoki isolatutako esferatxoa da; hots, prozesu adiabatikoa eragin diogu esferatxoan sartutako gas idealari. Gas idealaren prozesu adiabatikoari dagokion ekuazioa ondoko hau da:
pV^{\gamma}=C \Rightarrow p_{i}{V_{i}}^{\gamma}=p_{f}{V_{f}}^{\gamma}
Hortaz, presioa eta bolumena (esferatxoaren erradioa: V=\frac{4}{3}\pi r^3) lotuta daude: esferatxoaren erradioa neurtuz, presioaren balioa izango dugu. Eta azken hori ezagututa altuera kalkulatu dezakegu.
p=p_{i}e^{-\frac{gM_{m}}{RT}h} \Rightarrow p=p_{i}e^{-ch}
p_{i}({\frac{4}{3}\pi {r_{i}}^3})^{\gamma}=p_{f}({\frac{4}{3}\pi {r_{f}}^3})^{\gamma} \Rightarrow p_{i}{{r_{i}}^3}^{\gamma}=p_{i}e^{-ch}{{r_{f}}^3}^{\gamma}
{{r_{i}}^3}^{\gamma}=e^{-ch}{{r_{f}}^3}^{\gamma} \Rightarrow e^{ch}={\left(\dfrac{r_{f}}{r_{i}}\right)}^{3 \gamma}
ch=3\gamma \ln \left(\dfrac{r_{f}}{r_{i}}\right) \Rightarrow \boxed{h=\frac{3}{c} \gamma \ln \left(\dfrac{r_{f}}{r_{i}}\right) }
Hidrostatikaren Ekuazioa erabili dugu. Beraz, inplizituki onartu dugu tenperatura ez dela aldatu; mendian gora egin dugun altuera-tartean, behintzat. Aldatu ez dena egurats-tenperatura da; esferatxoan sartu dugun gas idealaren tenperatura, aldiz, aldatu da, prozesu adiabatikoa eragin baitiogu. Hortaz, asmakizunaren aldaera proposatu daiteke: esferatxoaren bolumena (erradioa) erabili beharrean, esferatxoan sartutako termometroa erabil daiteke. Gas idealaren prozesu adiabatikoan, tenperatura presioarekin ondoko ekuazioaren bidez lotuta dago: pT^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=C.
Beste alde batetik, eta berriro ere gas idealaren egoera-ekuazio mekanikoa erabiliz, ondokoa adierazpena lortu daiteke:
\left({\dfrac{r_{f}}{r_{i}}}\right)^{3} \propto \left({\dfrac{V_{f}}{V_{i}}}\right)^{3} \Rightarrow \dfrac{\left(\dfrac{nRT}{p_{f}}\right)^3}{\left(\dfrac{nRT}{p_{i}}\right)^3}
\dfrac{V_{f}}{V_{i}}=\dfrac{Tp_{i}}{T_{i}p}
\dfrac{p_{i}}{p}=\left(\dfrac{T}{T_{i}}\right)^{\dfrac{1-\gamma}{\gamma}}
Eta, beraz, aurreko adierazpenean dena ordezkatuz, honako hau lortuko da:
h=\dfrac{\gamma}{c}\ln \left(\frac{T}{T_{i}}\right)^{\frac{1}{\gamma}} \Rightarrow \boxed{h=\frac{1}{c}\ln\frac{T}{T_{i}}}
9. ARIKETA
Har itzazu aintzakotzat zilindro baten barnean dauden gas ideal baten N molak. Gas idealaren C_V eta C_p bero-ahalmenak konstanteak dira. Hasierako egoeran, gasaren bolumena eta tenperatura V_{i} eta T_{i} dira, hurrenez hurren. Gasa kuasi-estatikoki zabaldu da amaierako bolumena eta presioa V_f = kV_i eta p_{f} izan arte. Bukaerako presioa 1 atm da. Lortu:
- Indize politropikoa,
- \Delta U, Q eta W.
Indize politropikoa lortzeko, prozesu politropikoari dagokion adierazpena eta gas idealaren egoera-ekuazio mekanikoa erabiliko dira:
\left.\begin{array}{l} p V^{j}=C \Rightarrow p_{i} V_{i}^{j}=p_{f} V_{f}^{j} \\ p V=n R T \Rightarrow p=\frac{n R T}{V} \end{array}\right\} \Rightarrow \frac{n R T_{i}}{V_{i}} V_{i}^{j}=p_{f}\left(k V_{i}\right)^{j} \Rightarrow \frac{n R T_{i}}{V_{i}}=p_{f}\,k^{j} \Rightarrow k^{j}=\frac{n R T_{i}}{p_{f}V_{i}}=\frac{p_{i}}{p_{f}}
j \ln k=\ln \frac{p_{i}}{p_{f}} \Rightarrow \boxed{j=\frac{\ln (p_{i}/p_{f})}{\ln k}}
\Delta U
Gas ideala denez, badakigu ondoko adierazpena beteko dela: \Delta U = c_{V} nR \Delta T. Berdin dio zer motatako prozesua gertatu den; gas idealaren kasuan, horrela definitu dugulako, barne-energiak tenperaturarekiko baino ez dauka mendekotasuna; eta ekuazio hura beti erabil daiteke: prozesu adiabatikoetan, isotermoetan, isobaroetan, isokoroetan
\Delta U = c_{V} nR (T_{f}-T_{i}) \Rightarrow \boxed{\Delta U = c_{V} nR (\frac{kV_{i}}{nR}-T_{i})}
Lana kalkulatzeko, lanaren definizioa bera erabiliko dugu:
\delta W=-pdV \Rightarrow \int \delta W = \int -pdV \Rightarrow W = -\int p(V)\, dV
\begin{array}{l} p V^{j}=C \Rightarrow p=\frac{C}{V^{j}} \\ \left.W=-\int \frac{C}{V^{j}} d V \Rightarrow W=-C \int \frac{d V}{V^{j}} \Rightarrow W=-p_{i} V_{i}^{j} \frac{1}{-j+1} V^{-j+1}\right]_{V_{i}}^{V_{f}} \\ W=p_{i} V_{i}^{j} \frac{1}{j-1}\left(V_{f}^{-j+1}-V_{i}^{-j+1}\right) \\ W=\frac{1}{j-1}\left(p_{f} V_{f}^{j} V_{f}^{-j+1}-p_{i} V_{i}^{j} V_{i}^{-j+1}\right) \Rightarrow W=\frac{1}{j-1}\left(p_{f} V_{f}-p_{i} V_{i}\right) \Rightarrow \boxed{W=\frac{n R}{j-1}\left(T_{f}-T_{i}\right)} \end{array}
Azkenik, beroa kalkulatzeko lehenengo Printzipioa erabiliko da:
Q = \Delta U - W
\boxed{Q = nR\,(T_{f}-T_{i})\left[c_{V}-\frac{1}{j-1}\right] = c_{V}\,nR\,(T_{f}-T_{i})\,\frac{j-\gamma}{j-1} }
10. ARIKETA
Jarraitu al diezaioke gas ideal monoatomikoak irudian adierazi den prozesuari?
Eta gas ideal diatomikoak?
Baiezkoan, zein gasetan gertatuko da tenperatura-aldaketarik handiena?
Zer gertatzen da U barne-energiarekin?
Onartu bi gas idealen mol kopuruak berdinak direla.
Proposatutako prozesua, p/V diagraman, i-tik f-rakoa.
Biek bete dezakete ibilbidea; ez dago izaeraren arabera. Gas idealari bi egoera-ekuazio dagokio: mekanikoa, pV=nRT; eta termikoa, U=c_{V}nR T + k. Egoera-ekuazio mekanikoak ez du nabarituko gas ideala monoatomikoa ala diatomikoa den: hartan ez baita ageri partikula osatzaileen ezaugarririk (ez dago izaeraren berririk, beraz). Aldiz, egoera-ekuazio termikoak bai nabarituko du: horretan, izaeraren marka baitago, c_{V} hain zuzen ere. Hortaz, bien bukaerako tenperatura berdina izango da: T_{f} = \frac{p_{f}V_{f}}{nR}.
Bien bukaerako (p,V) oreka-egoera berbera denez, lanari dagokionez ez dago alderik bien artean: biek egingo dute lan berbera. Jakina, irudian agertu den ibilbideak definitutako p/V diagramako lerrotik beherako eta limiteen arteko azaleraren balioa da lana.
Gas bien arteko aldeak \Delta U barne-energian agertuko dira, esan bezala. Orduan, eta Lehenengo Printzipioaren arabera, prozesuaren ondorioz lan-kantitate berbera egingo dute; eta, beraz, bata bestea baino errentagarriago izango da. Hots, batak besteak baino bero gutxiago behar izango du lan bebera egin ahal izateko.
\begin{array}{c} C_{V \text { mono }}<C_{V d i} \\ \left(\Delta U=n R C_{V}\right)_{\text {mono }}<\left(\Delta U=n R C_{V}\right)_{\text {di }} \\ (\Delta U-W)_{\text {mono }}<(\Delta U-W)_{\text {di }} \Rightarrow Q_{\text {mono }}<Q_{\text {di }} \end{array}
11. ARIKETA
Monoatomikoa eta diatomikoa diren bi gas (ideal) desberdinak tenperaturaren eta bolumenaren balio berberen bidez ezaugarritu ditugu.
Haien bolumenak hasierako balioaren erdira izan arte konprimitu ditugu adiabatikoki.
- Zein dago tenperatura handiagoan?
Prozesua adiabatikoa da; eta, beraz, sistemaren oreka-egoera ezaugarrituko dituzten aldagai guztien balioak aldatuko dira; ez edozein modutan, jakina, ondoko adierazpenetako bati segituz:
- pV^{\gamma}=C
- Tp^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=C^{'}
- TV^{\gamma-1}=C^{''}
Kasu honetan erabili beharreko aldagaiak V eta T dira; eta, beraz, prozesu adiabatikoa deskribatzen duten ekuazioetako azkena erabiliko dugu T_{f} bukaerako tenperatura kalkulatzeko.
\left. \begin{array}{l} T_{f}=T_{i}(\frac{V_{i}}{V_{f}})^{\gamma-1}\\ V_{i}=2V_{f}\\ \end{array} \right\} \Rightarrow \boxed{T_{f}=T_{i}2^{\gamma-1}}
Adierazpen hori edozein gas ideali dagokio: monoatomikoa zein diatomikoa izan. Aipatu bi horien arteko aldea \gamma balioan dago: \gamma_{\textrm{mono}}=\frac{5}{3} eta \gamma_{\textrm{di}}=\frac{7}{5}. Beraz, ondokoa da gas bien bukaerako tenperaturen arteko zatidura:
\left. \begin{array}{l} T_{f\textrm{mono}}=T_{i\textrm{mono}}2^{\gamma-1}\\ T_{f\textrm{di}}=T_{i\textrm{di}}2^{\gamma-1}\\ \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{T_{f\textrm{mono}}}{T_{f\textrm{di}}}=\frac{T_{i\textrm{mono}}}{T_{f\textrm{di}}}\frac{2^{\gamma_{\textrm{mono}}-1}}{2^{\gamma_{\textrm{di}}-1}} \Rightarrow \boxed{\frac{T_{f\textrm{mono}}}{T_{f\textrm{di}}}=2^{\frac{4}{15}}\approx 1.2}