05. Gas ideala.

05. Gas ideala.

Aurkezpena.

Termodinamikaren lege orokorrak ezarri ondoren, fisikari batek berehala galdetzen du: nola aplikatzen zaizkie lege horiek sistema erreal eta konkretu bati? Zer gertatzen da legeen dotorezia abstraktua laborategiko substantzia baten portaera neurgarriarekin elkartzen dugunean? Galdera horiei erantzuteko, eredu bat behar dugu, erreferentzia-puntu bat, termodinamikaren “hidrogeno atomoa” izango litzatekeena: nahikoa sinplea analitikoki guztiz ebazteko, baina nahikoa aberatsa fenomeno fisiko garrantzitsuenak ulertzeko. Eredu hori gas ideala da.

Gai honetan, Termodinamikaren lege orokorretatik eredu espezifiko batera egingo dugu jauzi. Gas idealaren bi ezaugarri definitzaileak aztertuko ditugu: bere egoera-ekuazio mekanikoa (PV=nRT) eta, garrantzitsuagoa dena, bere egoera-ekuazio termikoa (U=U(T)), Joule-ren esperimentu ospetsutik ondorioztatzen dena. Behin eredua finkatuta, gure tresna-kutxa termodinamikoa erabiliko dugu gas ideal baten portaera edozein prozesu kuasiestatikotan (isotermoa, isobaroa, isokoroa eta adiabatikoa) erabat deskribatzeko. Gai hau amaitzean, ez duzu soilik eredu bat ezagutuko; problema termodinamiko ugariri aurre egiteko gaitasun praktikoa lortuko duzu.


Gardenkiak

Apunteak

Liburua

Ariketak

Gaiaren Edukiak

  • Joule-ren Zabaltze Askea
    • Esperimentua eta Lehen Printzipioaren aplikazioa: \Delta U = 0.
  • Gas Idealaren Definizioa
    • Egoera-ekuazio mekanikoa: PV=nRT.
    • Egoera-ekuazio termikoa: U=U(T). Ondorioak: (\partial U/\partial V)_T = 0.
  • Gas Idealaren Bero-ahalmenak
    • C_V eta C_P-ren definizioa.
    • Mayer-en erlazioa: C_P - C_V = nR.
  • Prozesu Kuasiestatikoak Gas Idealetan
    • Prozesu isokoroa, isobaroa eta isotermoa: Q, W, \Delta U.
    • Prozesu adiabatikoa: PV^\gamma = \text{konstante} ekuazioaren deribazioa.
  • Prozesu Politropikoak
    • Definizioa eta prozesu nagusien orokortzea.

Ikaskuntza-emaitzak

Gai hau arrakastaz amaitzean, honako gaitasunak lortuko dituzu:

  • Gas ideal bat bere bi egoera-ekuazioen bidez (mekanikoa eta termikoa) definitzeko gai izango zara.
  • Joule-ren zabaltze askearen esperimentua deskribatzeko eta bere ondorio nagusia (gas ideal baten barne-energia tenperaturaren menpekoa soilik dela) azaltzeko gai izango zara.
  • Gas ideal baten barne-energiaren aldaketa, trukatutako beroa eta egindako lana kalkulatzeko gai izango zara oinarrizko prozesu termodinamikoetan (isokoroa, isobaroa, isotermoa eta adiabatikoa).
  • Prozesu adiabatiko bat deskribatzen duten ekuazioak (PV^\gamma=k, TV^{\gamma-1}=k') deribatzeko eta erabiltzeko gai izango zara.
  • Prozesu politropikoaren kontzeptua prozesu nagusien orokortze gisa ulertzeko gai izango zara.

Gako-kontzeptuak: Irakaslearen Apunteak

Termodinamikaren lege orokorrak indartsuak dira, baina sistema zehatz bat aztertzeko, sistemaren propietate partikularrak ezagutu behar ditugu. Has gaitezen eredu sinpleenarekin, baina baita erabilgarrienarekin ere: gas ideala.

Zabaltze Askea eta Gas Idealaren Definizioa

Imajinatu ontzi isolatu bat bi zatitan banatuta: batean gas bat dago eta bestean hutsa. Bat-batean, bi zatiak banatzen dituen horma kentzen badugu, gasa zabaldu egingo da bolumen osoa betetzeko. Prozesu honi zabaltze askea deitzen zaio. - Sistema osoa isolatuta dagoenez, ez dago bero-trukerik: Q=0. - Gasak hutsaren aurka zabaltzen denez, ez du kanpoko indarrik gainditu behar, beraz, ez du lanik egiten: W=0.

Lehen Printzipioaren arabera, \Delta U = Q + W, ondorioztatzen dugu edozein gasen zabaltze askean: \Delta U = U_f - U_i = 0 Orain dator gakoa. Esperimentalki (Joule-k egin zuen lehen aldiz), gas “errealek” presio baxuetan zabaltze aske bat jasaten dutenean, haien tenperatura ia ez dela aldatzen behatzen da. Hortik sortzen da gure eredu idealaren definizioa.

OharraDefinizioa: Gas Ideala

Gas ideala bi baldintza betetzen dituen sistema termodinamiko bat da: 1. Egoera-ekuazio mekanikoa: Bere aldagai makroskopikoek PV=nRT erlazioa betetzen dute. 2. Egoera-ekuazio termikoa: Bere barne-energiak tenperaturarekiko menpekotasuna baino ez du: U=U(T).

Bigarren baldintza hau, hain zuzen, zabaltze askean tenperatura-aldaketarik ez egotearen (\Delta T = 0) ondorio zuzena da. Izan ere, U=U(T,V) onartzen badugu, dU = (\partial U/\partial T)_V dT + (\partial U/\partial V)_T dV. Zabaltze askean dU=0 eta dT=0 badira, baina dV \neq 0, orduan ezinbestean: \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = 0 Honek frogatzen du barne-energiak ez duela bolumenarekiko menpekotasunik, tenperatura konstantean.

Ondorio Garrantzitsuak

  • Barne-energiaren aldaketa: U=U(T) denez, eta badakigunez C_V = (\partial U/\partial T)_V, erlazioa sinplifikatzen da: dU = C_V dT. Erlazio hau edozein prozesutarako da baliagarria gas idealetan, ez soilik bolumen konstanteko prozesuetarako.
  • Mayer-en erlazioa: C_P eta C_V-ren arteko erlazioa erraz lor daiteke: C_P - C_V = nR

Prozesu Adiabatiko Kuasiestatikoak

Prozesu adiabatiko batean ez dago bero-trukerik, \delta Q = 0. Prozesua kuasiestatikoa bada, Lehen Printzipioa honela idatz dezakegu: dU = \delta W \implies C_V dT = -P dV Gas idealaren egoera-ekuazioa (P=nRT/V) ordezkatuz eta aldagaiak bananduz: C_V dT = -\frac{nRT}{V} dV \implies \frac{C_V}{nR} \frac{dT}{T} = -\frac{dV}{V} C_P - C_V = nR eta \gamma = C_P/C_V (indize adiabatikoa) erabiliz, \frac{C_V}{nR} = \frac{1}{\gamma-1} lortzen da. Integratuz: \frac{1}{\gamma-1} \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right) = -\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \implies \ln\left( T_f^{1/(\gamma-1)} V_f \right) = \ln\left( T_i^{1/(\gamma-1)} V_i \right) Hortik ondorioztatzen dira prozesu adiabatiko itzulgarriak deskribatzen dituzten ekuazio famatuak: \boxed{TV^{\gamma-1} = \text{konstante}} \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{PV^\gamma = \text{konstante}}

AhoulkuaIkaslearentzako Gakoa: Prozesuen Laburpen Taula

Hona hemen gas ideal baten prozesu kuasiestatiko nagusien laburpena (n=1 mol-erako):

Prozesua Baldintza Lana (W) Beroa (Q) \Delta U
Isokoroa V=k 0 C_V \Delta T C_V \Delta T
Isobaroa P=k -P\Delta V C_P \Delta T C_V \Delta T
Isotermoa T=k -RT\ln(V_f/V_i) -W 0
Adiabatikoa \delta Q=0 \Delta U 0 C_V \Delta T

Aplikazioak eta Garrantzia Praktikoa

Barne-errekuntzako Motorrak (Otto Zikloa)

Automobilen gasolina-motor gehienek Otto zikloaren hurbilketa bat jarraitzen dute. Ziklo honen bi urrats garrantzitsuenak ia-ia adiabatikoak dira: 1. Konpresio adiabatikoa: Pistoia igotzean, erregai-aire nahastea azkar konprimitzen da. Q \approx 0 denez, egindako lanak (W>0) barne-energia eta tenperatura izugarri igotzen ditu. 2. Espantsio adiabatikoa (Lan-denbora): Txinpartak nahastea piztu ondoren, presio altuko gas beroak pistoia beherantz bultzatzen du bortizki. Prozesu azkar honetan, gasak lan handia egiten du (W<0), eta bere barne-energia eta tenperatura jaitsi egiten dira. Prozesu adiabatikoen ekuazioek motorraren errendimendua kalkulatzeko oinarria ematen dute.

Soinuaren Abiadura

Soinu-uhin bat gas batean zehar hedatzen denean, gasaren konpresio eta arrarotze azkarrak sortzen ditu. Prozesu hauek hain azkarrak direnez, ez dago ia bero-trukerik inguruko eskualdeekin; beraz, prozesu adiabatikoak dira, ez isotermikoak. Hori dela eta, soinuaren abiaduraren formulan indize adiabatikoa (\gamma) agertzen da, ez soilik tenperatura. v_{soinua} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}

Atmosferaren Fisika eta Hodeien Eraketa

Aire-masa bat mendi baten gainetik igotzera behartuta dagoenean edo konbekzioz igotzen denean, goiko geruzetako presio atmosferiko baxuagoaren aurka hedatzen da. Igoera nahiko azkarra bada, prozesua adiabatikoa da. Gasak hedatzean lana egiten duenez (W<0), bere barne-energiak eta tenperaturak behera egiten dute (\Delta U < 0). Aire hezearen tenperatura ihintz-punturaino jaisten bada, ur-lurruna kondentsatu eta hodeiak sortzen dira. Hozte adiabatiko hau da hodeien eraketa-mekanismo nagusia.

Ariketa Ebatziak: Pentsamendu-prozesua

Ariketa 12: Zabaltze Itzulezina

Enuntziatua: Termikoki isolatutako zilindro batean 4 mol gas ideal daude, 6 atm eta 27°C-an. Bat-batean, pistoia askatu eta gasa 1 atm-ko kanpo-presioaren kontra zabaltzen da bolumena hirukoiztu arte. Lortu T_f, \Delta U, Q, W.

Estrategia: Prozesua ez da kuasiestatikoa (“bat-batean”), beraz, ezin ditugu prozesu adiabatiko itzulgarrien ekuazioak erabili. Hala ere, Lehen Printzipioa beti da baliagarria.

  1. Sistema termikoki isolatuta dago, beraz Q=0.
  2. Lana kanpoko presio konstantearen aurka egiten da, beraz W = -P_{kanpokoa} \Delta V.
  3. Lehen Printzipioak dio \Delta U = Q + W = W.
  4. Badakigu \Delta U = C_V \Delta T. Bi adierazpen hauek berdinduz, T_f kalkulatu ahal izango dugu.

Ebazpen xehea:

  1. Hasierako egoera: n=4 mol, P_i=6 atm, T_i = 27+273 = 300 K. C_V = \frac{3}{2}R. Datuak/konstanteak: R = 0.082 L·atm/(mol·K) = 8.314 J/(mol·K); 1 L·atm = 101.3 J.

    V_i = \frac{nRT_i}{P_i} = \frac{4 \cdot 0.082 \cdot 300}{6} = 16.4 L.

  2. Bukaerako egoera: V_f = 3 V_i = 3 \cdot 16.4 = 49.2 L. P_{kanpokoa}=1 atm.

  3. Lana:

    W = -P_{kanpokoa} (V_f - V_i) = -1 \text{ atm} \cdot (49.2 - 16.4) \text{ L} = -32.8 \text{ L} \cdot \text{atm}. SI unitateetan: W = -32.8 \cdot 101.3 = -3322 J.

  4. \Delta U eta T_f:

    \Delta U = W \implies nC_V(T_f - T_i) = -3322 J. 4 \cdot (\frac{3}{2}R) \cdot (T_f - 300) = -3322 \implies 6 \cdot 8.314 \cdot (T_f - 300) = -3322. 49.88 \cdot (T_f - 300) = -3322 \implies T_f - 300 = -66.6 \implies T_f \approx 233.4 K.

  5. Laburpena:

    • \boldsymbol{T_f} = 233.4 \text{ K} (-39.6^\circ\text{C}).
    • \boldsymbol{\Delta U} = -3322 J.
    • \boldsymbol{W} = -3322 J.
    • \boldsymbol{Q} = 0.

Emaitzaren analisia: Prozesua itzulezina denez, entropia sortu da. Nahiz eta Q=0 izan, ez da isentropikoa. Zabaltze adiabatiko itzulgarri batean baino gutxiago hoztu da gasa, lan gutxiago egin duelako (kanpoko presioa txikiagoa baita).

Ikasgaiaren Testuingurua eta Hurrengo Urratsak

Aurreko gaietan Termodinamikaren oinarri orokorrak finkatu ditugu. Gai honetan, oinarri horiek sistema eredu konkretu bati aplikatu dizkiogu, gas idealari, eta haren portaera zehatz-mehatz deskribatzeko tresna matematikoak garatu ditugu. Orain gai gara ziklo termodinamiko sinpleak aztertzeko, beroa, lana eta energiaren aldaketak kalkulatzeko, eta prozesu adiabatikoen fisika ulertzeko. Gure tresna-kutxa termodinamikoa ia osatuta dago.

Hala ere, gure ereduak, gas idealak, muga nabarmenak ditu: ez du molekulen arteko interakziorik kontuan hartzen eta, ondorioz, ezin du azaldu fenomeno garrantzitsuenetako bat: fase-trantsizioak. Zer gertatzen da gas bat hoztu eta konprimitzen dugunean likido bihurtu arte? Nola deskribatzen dugu likido baten eta bere lurrunaren arteko oreka? Galdera hauei erantzuteko, gure eredua findu eta gas errealen munduan sartu beharko dugu. Hori izango da gure hurrengo urratsa, bidea emanez materiaren egoera desberdinen arteko eraldaketa liluragarriak ulertzeko.

Sakontzeko Baliabideak

Oinarrizko Bibliografia

  • Zemansky, M. W., & Dittman, R. H. (1997). Heat and Thermodynamics. 7th ed. McGraw-Hill. 2. kapitulua: “Simple Thermodynamic Systems”.
  • Callen, H. B. (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics. 2nd ed. John Wiley & Sons. 3. kapitulua: “The Formalism of Thermodynamics”.

Simulazio Interaktiboak

Bideo Gomendatuak