Apunteak. 04 Gaia

1. Printzipioa. Barne-energia


4. Gaia: Termodinamikaren Lehen Printzipioa, 2Z

Iruzkinak:

  • Gaiaren helburua da Termodinamikaren Lehen Printzipioaren adierazpen ondorioztatzea. Orain arteko sistemek, Fisika Orokorrekoek edo Mekanikoek, ez zuten askatasun-gradu termikoa (hobeto esateko, izoztuta izan dute) eta energiaren kontserbazioaren adierazpenean ez da agertu horrekin lotutako ekarpenik. Termodinamikaren testuinguruan askatasun-gradu termikoa funtsezkoa da eta bere ekarpena kontuan hartu behar da ezinbestean; horixe da, beraz, helburua. Aztergai-sistema da masa konstanteko sistema hidrostatikoa, soilik bi askatasun-gradukoa bera, honako bi hauek: mekanikoa, sistema mekanikoki lotuta dago (elkarrekintza dauka, …) ingurunearekin eta, ondorioz, lan mekanikoa (definitzeko kontzeptua) baino ezin du egin; eta, termikoa, sistema termikoki lotuta dago (elkarrekintza dauka, …) ingurunearekin eta, beraz, lan termikoa (definitzeko, beroa trukatuz aldatuko du bere egoera). Bi modu independente horien bidez alda dezake sistemak bere energia-edukia, bere egoera, orokorrean, biak era independentean erabiliz. Jakina, betiko legez, ez da inolako orokortasunik galduko, nahiz eta 2 askatasun-graduko sistema hidrostatikoa baino ez aztertu.

    Egoera aldatzeko bi modu horien bidezko energiarako ekarpena lortu behar da. Horretarako, prozesu kuasiestatikoak erabiliko dira; horietan definituko da zer ekarpen egiten duten elkarrekintza mekanikoak eta termikoak; eta horien adierazpen infinitesimalak lortuko dira.

    Egoera aldatzeko bi modu horiek energiaren dimentsioak dituzte, baina ez dira energiak.

    • fisikoki:

      • Ez dira sistemei dagozkien propietateak
      • Ez dago sistema bati dagokion lana edo sistema bati dagokion beroa Badago prozesu batean, kuasiestatikoa bera (kalkuluak egin behar badira), sistema batek egindako lana (positibo zein negatibo, ikusiko denez) edo trukatutako beroa

    • matematikoki:

      • Ez daude funtzio matematikoak horiek adierazteko

      • Ez dira diferentzial zehatzak, ez dira egoera-funtzioak; beraz, lanaren eta beroaren balioek badute sistemaren egoera aldatzeko erabili den ibilbidearekiko mendekotasunik

      • Ezin da honelako hauek idatzi:

        • Q=Q(T, p, V, \dots)
        • W=W(n, p, T, \dots)

      • Ibilbideko integralak dira

    • Adibidea: (oraindik definitu gabeko gas ideala) sistema baten

  • Orokorrean, bi diferentzial ez-zehatzen batura diferentzial ez-zehatza da Aipatutako bi diferentzial ez-zehatz berezi (fisikoki interpretazioa dute) horien batura beti da diferentzial zehatza Bitxikeria hori Izadiak finkatzen du
  • Lan mekanikoa definituko da eta bere inguruan dauden beste zenbait kontzeptuMekanikako lan mekanikoa da
    • Sistema berezietara orokortuko da definizioa
  • Beroa (lan termikoa) definituko da, eta bere inguruan dauden beste zenbait kontzeptu Ez dago Mekanikan definituta
    • Sistema berezietara orokortuko da definizioa
  • Orokorrean, edozein lanek (hots, edozein askatasun-graduk energiaren aldaketarako egingo duen ekarpenak) duen forma honako hau da:
    • \delta W^{orokor}_{Y,X}= Y\,dX
    • Adierazpen horretan, Y eta X dira askatasun-graduarekin lotutako aldagai intentsibo eta estentsibo, konjokatuak (Mekanikako zentzuan) horiek, hurrenez hurren

4.1 Lana (Lan mekanikoa)

gogorarazi

  • Mekanikako lana: \delta W = -\vec{F}\cdot d\vec{x}
  • kanpo lana baino ez da kontuan hartzen termodinamikan
  • lan mekanikoa

  • Mekanikako aldagaiak ez dira egokiak termodinamikaren testuinguruan, beraz, A azalera tartekatuz

    • \vec{F}\rightarrow p eta
    • d\vec{x}\rightarrow dV

  • adierazpen diferentziala: \delta W = -pdV

  • Zeinu irizpidea:

    • sistemak lana egiten badu, negatibo da
    • sistemari lana egiten bazaio, positibo da

  • \delta W = -pdV adierazpenean

    • p da sistemaren presioa, oreka(termodinamikoko)-egoeran p dagokio sistema osoari, balio horren bidez sistemaren egoera mekanikoa ezaugarritzen da, …

    • dV da sisteman gertatu den bolumen-aldaketa (infinitesimala, diferentziala)Bolumen-aldaketa hori, sistemarena, ingurunearen kontrakoa da: batak galden duena besteak irabazten du

      • Sistema konprimitzen bada (dV<0), ingurunea zabaldu delako da
      • Sistema zabaltzen (handitzen) bada (dV>0), ingurunea konprimitu delako da

  • \int\delta W\equiv W = -\int pdV

  • adierazpen hori formala da: integratu ahal izateko derrigorrean ezagutu behar da p = p(V) ekuazioa

    • ekuazioa hori bada:

      • sistema eraman den ibilbideari dagokion adierazpena,
      • prozesuaren, kuasiestatikoa bera, adierazpena

    • ekuazio hori ez da egoera-ekuazioa

  • lanaren interpretazioa, p/V diagraman

  • \int\delta W\equiv W = -\int pdV\hspace{1.9cm}W = -\int p(V)dV
    • inportantea da konturatzea p = p(V) ezagutu behar dela!!

4.2 Lanaren orokortzea

  • lan mekanikoan erabili den definizio berbera erabiliko da, formari dagokionez

  • askatasun-gradu mekanikoa ez den beste askatasun-gradu batekin lotutako lana (lanaren abizena izango da aipatutako askatasun-graduari dagokiona, jakina) idatzi nahi dela:

    • askatasun-graduarekin lotutako aldagai intentsiboa eta estentsiboa direla Y eta X, hurrenez hurren.
    • lan mekanikoaren kasuan p eta V aldagaien parekoak
    • lana da:

    \boxed{\delta W^{Y,X} = YdX}

  • askatasun-gradua edozein motatako izan daiteke:

    • magnetikoa: (H, M) \Rightarrow \delta W^{H,M}_{mag} = HdM
    • elektrikoa: (E, P) \Rightarrow \delta W^{E,P}_{ele} = EdP
    • elastikoa: (\tau, L) \Rightarrow \delta W^{\tau,L}_{ela} = \tau dL

  • Iruzkina:

  • askatasun-gradu bat baino gehiagokoren kasuan, askatasun-graduek ekarpena bana egiten dute lanerako

  • jakina, askatasun-graduarekin lotutako aldagai konjokatuak baino ezin dira erabili lanerako ekarpena eraikitzeko

  • askatasun-graduekin lotutako aldagai konjokatuak adierazteko edozein ikur erabil daiteke:

    • orokorrena da, esan bezala, (Y, X) erabiltzea
    • baina (\Delta, \bigcirc) izan daitezke:

    \boxed{\delta W^{(\Delta, \bigcirc)}_{a-g} = \Delta d\bigcirc}

    • bat baino gehiagoko horiek mota berekoak izan daitezke, zein mota ezberdinekoak: edozein kasutan, ezaugarriek, askatasun-graduek ekarpen bana izango dute

    • bi askatasun-gradu mekanikoko adibidea:

      zeinek bere aldetik, askatasun-graduak baitira

      • mekanikoa 1: (p, V)^1 \Rightarrow [\delta W^{p,V}_{mek} = -pdV]^1
      • mekanikoa 2: (p, V)^2 \Rightarrow [\delta W^{p,V}_{mek} = -pdV]^2

    • guztira, lan osoa (guztizko lana) da bien batura:

    \boxed{\delta W^{osoa} = \sum\limits_{a-g=1}^{2}\delta W_{a-g}}=\delta W_{mek}^{1} + \delta W_{mek}^{2}

  • lanaren adierazpenik orokorrena:

    \boxed{\delta W^{osoa} = \sum\limits_{i=1}^{n}\delta W_{a-g}}

    • i d(ir)a sistemaren askatasun-gradua(k)(a-g)
    • i d(ir)a sistemaren azpisistemak, eta horietan askatasun-graduak

  • 2 askatasun-graduko mekanikoko adibidea garatuta:


Adibidea: Konpresio isotermoa

GarrantzitsuaLiburutik zuzenean hartuta

  • Gasa

    Las ideas anteriores serán aclaradas mediante los siguientes ejemplos: Expansión o compresión isotérmica cuasi-estática de un gas ideal

    W=-\int_{V_i}^{v_f} p d V

    pero un gas ideal tiene como ecuación de estado (kasu honetan, sistemari buruzko informazio handia ezaguna da: egoera-ekuazio mekanikoa ezaguna baita)

    V=n R \theta

    siendo n (masa konstantekoa baita) y R constantes. Sustituyendo el valor de p, se obtiene:

    W=-\int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{n R \theta}{V} d V

    y, puesto que \theta (prozesuari buruzko informazioa) es también constante,

    \begin{aligned} W &=-n R \theta \int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{d V}{V} \\ &=-n R \theta \ln \frac{V_{f}}{V_{i}} \end{aligned}

    Si 2\,\mathrm{ ~kmol} de gas a la temperatura constante de 0^{\circ}\mathrm{ C} se comprimen desde un volumen de 4 \mathrm{ ~m}^3 hasta 1 \mathrm{ ~m}^3, entonces n=2\, \mathrm{ ~kmol}, R=8.31 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kmol} \cdot \mathrm{K}, \theta=273 \mathrm{~K} (utilizando tres cifras significativas), V_{i}=4 \mathrm{~m}^3, V_{f}=1 \mathrm{~m}^3, y

    \begin{aligned} W &=-2 \mathrm{kmol} \times 8.31 \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kmol} \cdot \mathrm{K}} \times 273 \mathrm{~K} \times \log \frac{1}{4} \\ &=6300 \mathrm{~kJ} \end{aligned}

    El valor positivo de W indica que se trata de trabajo realizado sobre el gas.

  • Solidoa

    Compresión isotérmica cuasi-estática de un sólido. Supongamos que se aumenta cuasi-estáticamente desde 0 hasta 1000\, \mathrm{~atm} la presión ejercida sobre 10^{+2}\, \mathrm{ ~kg} de cobre sólido, mantenido a la temperatura constante de 0^{\circ} C. El trabajo se calcula como sigue:

    Kontuan izan, oraingo honetan, ez dakigula ezer sistemari buruz: ez dugu ezagutzen kobrearen egoera-ekuaziorik. Kontuan izan baita ere, lana diferentzial zehatza ez denez, lanaren balioa kalkulatzeko, beti ezagutu behar dela bidea, bideko integrala baita:

    \delta W = - p d V \Rightarrow p = p(V)

    Baina, p=p(V) \equiv V=V(p); hortaz, dV garatu daiteke, eta erabili koefiziente esperimentalak, ezagutuz gero; kasu honetan, konprimigarritasun-koefizientea ezaguna da. Ez da beharrezkoa zabalkuntza ezagutzea tenperatura konstantea baita: horixe da prozesuari buruzko informazioa.

    \begin{aligned} &W=-\int p d V, \\ &d V=\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_\theta d p+\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{p} d \theta . \end{aligned}

    Dado que la compresibilidad isotérmica es

    \kappa=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_\theta

    se tiene, a temperatura constante,

    V=-\kappa V d P

    sustituyendo este valor de d V, se obtiene

    W=\int_{P_i}^{P_f} \kappa V P d P

    Ahora bien, las variaciones de V y \kappa a temperatura constante son \tan pequeñas que pueden despreciarse. Por consiguiente

    \approx \frac{\kappa V}{2}\left(P_f^2-P_i^2\right)

    Dado que el volumen es igual a la masa m dividida por la densidad \rho,

    \approx \frac{m \kappa}{2 \rho}\left(P_f^2-P_i^2\right)

    Para el cobre a 0^{\circ} \mathrm{C}, \rho=8930 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3, \kappa=7.16 \times 10^{-12} \mathrm{~Pa}^{-1}, m=100 \mathrm{~kg}, P_i=0, y P_f=1000 \mathrm{~atm}=1.013 \times 10^8 \mathrm{~Pa}.

    Por tanto,

    \begin{aligned} W &=\frac{100 \mathrm{~kg} \times 7.16 \times 10^{-12} \mathrm{~Pa}^{-1} \times\left(1.013 \times 10^8 \mathrm{~Pa}\right)^2}{2 \times 8930 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3} \\ &=0.411 \times 10^3 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{m}^3=0.411 \times 10^3 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m} \\ &=0.411 \mathrm{~kJ} \end{aligned}

    El valor positivo de W indica que se ha realizado trabajo sobre el cobre. Este resultado, junto al del primer ejemplo, indica que cuando se comprime un gas se puede despreciar, de ordinario, el trabajo realizado sobre el material del recipiente.


4.3 Masa konstanteko sistema hidrostatikoaren hiru aldaketa posibleak

Masa konstanteko sistema hidrostatikoak 2 askatasun-gradu baino ez dauka: termikoa eta mekanikoa (kimikoa izoztuta dauka). Orduan, orokorrean, bi modutan baino ezin da lotu, elkarrekintza izan, ingurunearekin: termikoki edo/eta mekanikoki. Hots, banan banan erabilgarri dituen askatasun-graduak martxan jarriz.

Lana aztertu denean, aipatu gabe joan da honako hau: lan mekanikoa egiten denean, beti pentsa daiteke sistema ingurunearekin lotuta dagoela mekaniko tramankulu mekaniko baten bidez. Tramankulu mekaniko horren konfigurazioari begiratuz, esan dezakegu lana egin dela eta nolakoa izan den lan hori: positibo edo negatibo.

Irudiko lehen hilaran adierazten da masa konstanteko sistema hidrostatiko bat termikoki isolatuta, horma adiabatikoz inguratuta, eta mekanikoki lotuta, tramankulu mekanikoaren bidez, inguruneari. Sistemak egiten duen lana da adiabatikoa.

Irudiko bigarren hilaran adierazten da masa konstanteko sistema hidrostatikoa termikoki lotua inguruneari, beheko horma diatermoa baita, eta inolako lotura mekanikorekin ingurunearekin (mekanikoki isolatuta da, beraz).

Irudiko hirugarren hilaran adierazten da masa konstanteko sistema hidrostatikoa, kasu honetan, posibleak dituen 2 askatasun-graduak martxan dauzkala: lotura termikoa eta mekanikoa dauka ingurunearekin.

Beraz, azken kasu horretan pairatuko du gerta dakiokeen prozesurik orokorrena, zeinak sistemaren egoera termikoa eta mekanikoa independenteki aldatu dituen.


4.4 Oinarrizko bereizketa: sistema/ingurunea bikotea

  • Beste adibide batzuk


Iruzkina:

  • Ez dago energia-barreiaketarik: ondo irakurri liburua (1)

  • Ez dago energia-barreiaketarik: ondo irakurri liburua (2)


4.5 Lan adiabatikoaren azterketa

Ingurunearekin lotura mekanikoa baino ez duen sistema aztertuko da; beraz, egoera aldatzekotan mekanikoki baino ezin izango du aldatu. Gainerako askatasun-graduak izoztuta dauzkala onartuko da.

Zertxobait orokorrago egitearren, masa konstanteko bi azpisistema hidrostatikoz gehi erresistentzia elektriko banaz osatutako sistema konposatua aztertuko da. Hortaz, bina askatasun-gradu dituzte azpisistemek eta, ondorioz, sistema konposatuak, lau askatasun-gradu. Halere, azpisistemen artean bereizte-horma diatermoa ezarriko da. Horren arabera, biek partekatuko dute egoera termikoa eta tenperaturaren balio bakarrak balioko du sistema konposatuaren egoera termikoa ezaugarritzeko. Azkenik, beraz, sistema konposatuak hiru askatasun-gradu baino ez dauzka: termikoa eta bi mekaniko, bi pistoi higikorren bidez adierazita azken biak.

Aldagai independenteen sortan sistema konposatuaren deskribapenean parte hartzen duten edozein hiru aldagaiz osatutako konbinazio ager daiteke; esaterako (V^{1},V^{2},T).

Hiru horien bidez, sistema konposatuari dagokion konfigurazio-espazioa eraiki daiteke. Jakina, espazio horretan dagoen edozein puntuk adierazten du sistemari dagokion oreka-egoera. Horietako bi finkatuko dira, i eta f, eta prozesuen bidez lotuko dira.

  • Orotarikoak izan daitezke prozesuak:

    • pistoiak, era independentean, atera edo barneratu daitezke, poliki-poliki (kuasi-estatikoki termodinamikan) edo kolpeen bidez, bat-batean, era ez kuasi-estatikoan. Honelako hauek kontrolatzen dute sistema konposatuaren oreka-egoeraren aldaketa, askatasun-gradu mekanikoak baino ez erabilita.
    • azpisistemak osatuz dauden erresistentzia elektrikoetan korronte elektrikoa zirkularaz daiteke (poliki-poliki edo kolpeka), horretarako horiekin mekanikoki lotuta dauden tramankulu mekanikoen konfigurazio mekanikoa aldatuz. Honelako kasuetan, sistema konposatuaren oreka-egoera termikoa aldatzen da, soilik askatasun-gradu mekanikoak erabilita, berriro ere bai, baina ez aurreko askatasun-gradu mekanikoak, jakina.
    • edo horien bidezko edozein konbinazio

Kasu horietan guztietan, lana baino ez da egiten, lan adiabatikoa, sistema konposatua adiabatikoki isolatuta baitago. Esperientziak esaten du horietan guztietan egiten den lanaren (lan adiabatikoaren) balioa beti dela berdina: i-tik f-rako prozesua edozein izanda ere, lanaren balioa ez da aldatzen. Horrelako lanak, lan adiabatikoak, ez dauka ibilbidearekiko mendekotasunik. Ibilbidearekiko mendekotasunik ez badauka, batetik, matematikoki diferentzial zehatza da eta, bestetik, fisikoki sistemaren propietatea da. Orduan, esperientziaren arabera, definitu daiteke (edozein sistemaren kasuan) sistemaren propietatea den magnitude bat, kasu honetan barne-energia deritzona, zeinaren bi egoeren arteko aldaketa eta bi egoera horiek lortzeko egin den lan adiabatikoa berdinak diren:

W_{i\rightarrow f}^{ad.}\equiv U_{f} - U_{i}

  • Adierazpen horretan:
  1. energiaren kontserbazioaren printzipioa dago
    sistemak egin duen lana bere (barne-)energiari esker egin du
  2. edozein sistemaren kasuan definitu daiteke barne-energia propietatea
  3. Barne-energia da, beraz, sistemaren deskribapenean parte hartzen duten aldagai termodinamikoen benetan existitzen den funtzioa, diferentzial zehatza

Gogoratu:
> Edozein sistemaren kasuan ondorioztatu daiteke U barne-energiaren existentzia eta funtzio hori beti idatz daiteke sistemaren deskribapenean parte hartzen duten edozein aldagairen sortaren funtzioan eta, gainera, sistemaren propietate bat adierazten duenez, barne-energia egoera-funtzioa da, diferentzia zehatza.


4.6 Lehenengo Printzipioaren formulazio matematikoa

Berriro ere bai, i eta f egoerak lotuko dira baina oraingo honetan lan ez-adiabatikoa eginez; hots, lehengo isolamendu adiabatikoa kenduta. Hortaz, egindako lana ez da berezia, adiabatikoa, baizik eta arrunta; beraz, lan arrunta den heinean, ibilbidearekiko mendekotasuna dauka eta ez(in) da (izan) lehengo lan adiabatikoaren berdin. Halere, finkatutako bi egoeren arteko barne-energiaren aldaketa, barne-energia diferentzial zehatza den heinean, ez(in) da aldatu: bi prozesu motetan, adiabatikoa eta ez-adiabatiko, gertatu den barne-energiaren aldaketa honako hau da:

  • adiabatikoan: \Delta U_{i-f}^{ad} = W_{i-f}^{ad}
  • ez-adiabatikoan: \Delta U_{i-f}^{ez-ad}=U_{i-f}^{ad}(=W_{i-f}^{ad})\ne W_{i-f}^{ez-ad}

Lan ez-adiabatikoa eta barne-energiaren artean aldea dago, soilik sistema eta ingurunearen artean tenperatura-diferentzia dagoelako, tenperatura-diferentziari esker… Aurreko kasu bereziarekin alderatuta, kasu honetan ez baitago isolamendu adiabatikorik eta, hortaz, elkar ikusiko dute sistemak eta inguruneak eta egoera termikoak ezberdinak diren kasuan, ukipen termikoan daudenez, aldaketak gertatuko dira. Energiaren kontserbazioaren printzipioarekin bat etortzeko, diferentzia hori da sistemak ingurunearekin bero moduan trukatu duen energia

Q = \Delta U - W

\delta Q = dU - \delta W

  • Energiaren kontserbazioaren printzipioa, askatasun-gradu termikoa kontuan hartuz modu honetan idatziko da:

    \boxed{\Delta U = Q + W}

    Sistemak (masa konstanteko sistema hidrostatikoak, bi askatasun-gradukoa baino ez bera) bi modu dauzka bere egoera, bere energia-edukia, aldatzeko:

    • termikoki lotuta dagoela ingurunearekin energia bero moduan trukatuz
    • mekanikoki lotuta dagoela ingurunearekin lan eginez


4.7 Laburbilduma eta orokortzea

\boxed{\delta Q = dU - \delta W}

  • \delta: diferentzial ez zehatza

  • ez dago sistema bati dagokion BEROA (LANA)

  • ez dago sistema bati dagokion Q=Q(X,Y,Z,\dots) edo W=W(X,Y,Z,\dots)

  • d: diferentzial zehatza

  • badago sistema bati dagokion BARNE-ENERGIA

    \boxed{U=U(X,Y,Z,\dots)}

  • dU: sistema bati dagokion barne-energia bi modutan alda daiteke:


  1. tenperatura-diferentziari esker: \hspace{1.6cm} \delta Q

  2. tenperatura-diferentzia ez denari esker: \hspace{0.5cm}\delta W

    lan hori edozein motatakoa izan daiteke, edo denak
    edozein askatasun-graduarekin lotutakoa

\begin{aligned} \delta W &=\sum\limits_{i=1}^{n} \delta W_{i} \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n} Y_{i} d X_{i}\end{aligned}

\boxed{dU =\delta Q+\sum\limits_{i=1}^{n} Y_{i} d X_{i}}

Eta hori guztia orokortu daiteke eta beste forma bat, laburtua, eman dakioke, formalismoa aldatzean lortuko dena, honako hau

\begin{aligned} dU &=T dS+ \sum_{i=1}^{n} Y_{i} dX_{i} \end{aligned}

\boxed{dU = \sum_{i=0}^{n} Y_{i} d X_{i}}

Askatasun-gradu termikoarekin lotutako lan termikoaren (beroaren) adierazpena, zenbait baldintza esperimentaletan, bestelako lan motekin lotutako adierazpenen modukoa da: askatasun-graduarekin lotutako aldagai intentsiboaren bider aldagai estentsiboaren aldaketa infinitesimalaren arteko biderkadura:

\delta Q \equiv \delta W^{termiko} = T dS

4.8 Bero-ahalmena:

Honako hau da bero-ahalmenaren eragiketa-definizioa:

C_{\bigcirc}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{\bigcirc}

Iruzkinak:

  • Bi kantitateren arteko zatidura da: \delta Q eta dT aldaketa infinitesimalen arteko zatidura.

  • Interpretazioa: neurtzen du zer eragin duen tenperaturan bero moduan sistemak trukatu (galduz edo irabaziz, negatibo zein positibo izan daiteke beroa, zeinuz) duen energiak; nola aldatzen duen energia horrek tenperatura sistemari.

  • Definizioz, magnitude estentsiboa da, masarekiko mendekotasuna dauka eta letra larriz adierazten da; ez da, beraz, sistemaren, sistema motaren, propietatea, baizik eta aztertzen den sistemaren propietate.

  • Masa unitateko bero-ahalmena, letra xehez adierazita bera, definitu daiteke eta intentsibo da:

c_{\bigcirc}=\frac{1}{M}\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{\bigcirc}

  • Bero moduan sistemak trukatu duen beroak badauka, jakina beroa diferentzial ez-zehatza baita, trukea gertatu den modu esperimentalarekiko (baldintza esperimentalak) mendekotasuna.

    Horixe da, hain zuzen ere definizioan agertzen den \circ ikurraren esanahia: argi eta garbi adierazi behar da zer baldintza esperimentaletan trukatu duen energia, bero moduan, sistemak.

  • birdefinizioa:

    C_{\textrm{baldintza esperimentalak}}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{\textrm{baldintza esperimentalak}}

    • Beraz: edozein sistemaren eta askatasun-gradu termikoa ez den haren edozein askatasun-gradurekin lotutako aldagai intentsiboaren eta estentsiboaren bitartez bero-ahalmen bana definitu daiteke: aldagai horiek definitzen dituzte baldintza esperimentalak.

      • masa konstanteko sistema hidrostatikoaren kasuan, hortaz, termikoa ez den askatasun-gradua mekanikoa da

      • askatasun-gradu mekanikoarekin lotutako aldagaiak dira: p eta V, hots, bi bero-ahalmenak dira honako hauek:

      C_{p}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_p\,;C_{V}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_V

      • askatasun-gradu orokor batekin lotutako aldagaiak dira: Y eta X, hots, bi bero-ahalmenak dira honako hauek:

      \boxed{C_{Y}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_Y \,;C_{X}=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_X}

  • Kontuz: bero-ahalmena aldagai termodinamikoen funtzioa da, orokorrean C_{V} badauka V bolumenarekiko mendekotasunik

Bolumen konstanteko bero-ahalmenak neurtzen du energiaren eragina tenperaturan, bolumenaren balio finkoa batea, baina aldatutakoan bolumenaren eragina ezberdina izan daiteke


Iruzkina

\begin{aligned} &\text { Tabla 4.2. Capacidades calorificas de sistemas simples }\\ &\begin{array}{|l|l|c|} \hline \text { Sistema } & {\text { Capacidades caloríficas }} & \text { Símbolo } \\ \hline \text { Hidrostático } & \text { A presión constante } & C_{p} \\ & \text { A volumen constante } & C_{V} \\\hline \text { Lineal } & \text { A tensión constante } & C_{\tau} \\ & \text { A longitud constante } & C_{L} \\\hline \text { Superficial } & \text { A tensión superficial constante } & C_{\sigma} \\ & \text { A área constante } & C_{A} \\\hline \text { Eléctrico } & \text { A fem constante } & C_{E} \\ & \text { A carga constante } & C_{Z} \\\hline \text { Dieléctrico } & \text { A campo eléctrico constante } & C_{E} \\ & \text { A polarización constante } & C_{\pi} \\\hline \text { Magnético } & \text { A campo magnético constante } & C_{H} \\ & \text { A imanación constante } & C_{M} \\ \hline \end{array} \end{aligned}


4.9 Bero-iturria

Bero-iturria da masa infinituko eta askatasun-gradu termikoa baino ez duen sistema, gainera, honako ezaugarria dauka sistema berezi honek: edozein neurritan truka dezake (galduz edo irabaziz) energia (termikoki baino ez, hori baita daukan askatasun-gradu bakarra) bere egoera termikoa aldatu gabe

Iruzkinak:

  • bi prozesutan erabiltzen dira bero-iturriak:

    • masa finituko sistema baten tenperatura finkatzeko, bero-iturriaren tenperaturaren balioan finkatzeko
    • masa finituko sistema baten egoera termikoa mantentzeko, bero-iturriarekin ukipen termikoan, bereizte-horma diatermoaren bidez, mantenduz

  • Bi horien kasuan, bero-iturriaren ikuspuntutik, gertatu den prozesua (tenperatura aldatzekoa zein tenperatura mantentzekoa) beti da kuasiestatiko

  • Bi horien kasuan, sistemaren ikuspuntutik, prozesuak ez du zertan kuasiestatiko izan, baina izan daiteke

  • kuasiestatikoa den kasuetan:

    • tenperatura aldatzeko prozesua:
      bero-iturrien segida infinituaren bidez adierazten da (jakina, asmatutako prozesua da)
      Segida infinitua osatzen dituzten bero-iturrien arteko tenperatura-aldaketa dT da, infinitesimala beraz
    • tenperatura finkatzeko prozesua: bero-iturri bakarra dago eta trukatzen duen \delta Q infinitesimala da sistemak berak trukatzen duena, zeinuz kontrakoa, jakina

  • Beroa diferentzial ez-zehatza, beraz, edozein kasutan, edozein sistema aztertzen dela, sistemak trukatzen duen bero-kantitatea lortzeko prozesua ezagutu behar da

    • Bero-ahalmenen definizioak erabil daitezke zenbait baldintza esperimentaletan sistemak trukatzen duen bero kalkulatzeko

    • baldintza esperimentaletan

      • Y mantendu bada konstante, orduan:

        [\delta Q = C_{Y}dT]_Y \Rightarrow Q = \int\limits\_{Y=k} C_Y dT

      • X mantendu bada konstante, orduan:
        \left[\delta Q = C_{X}dT \right]_X \Rightarrow Q = \int\limits_{X=k} C_{X} dT

4.10 Lehen Printzipioaren adierazpen infinitesimalaren formak

masa konstanteko sistema hidrostatikoaren kasuan, posibleak diren aldagai termodinamiko independenteen hiru bikoteen funtzioan


(T, V)\hspace{1cm}\delta Q \rightarrow \delta Q (T, V)

(T, p)\hspace{1cm}\delta Q \rightarrow \delta Q (T, p)

(V, p)\hspace{1cm}\delta Q \rightarrow \delta Q (V, p)



\boxed{\begin{array}{l} Q=\Delta U-W \\ \delta Q=d U-\delta W \\ \delta Q=d U+p d V \end{array}}



  1. \quad\delta Q \rightarrow \delta Q(\theta, V)

\boxed{\delta Q= C_{V} d \theta + \frac{C_{p}-C_{V}}{V\alpha} dV }

  1. \quad\delta Q \rightarrow \delta Q(P, V)

\boxed{\delta Q=\frac{C_{p}}{V \alpha} dV + \frac{\kappa_{T}}{\alpha} C_{V} d p }

  1. \quad\delta Q \rightarrow \delta Q(\theta, p)

\boxed{\delta Q= C_{p} d\theta + \frac{\kappa_{T}}{\alpha}(C_{V}-C_{p}) d p}



  1. U=U(V, \theta)

\boxed{\begin{array}{l} \left(\dfrac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V}=C_{V} \\ \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{\theta}=\dfrac{C_{p}-C_{V}}{V\alpha}-p \end{array}}

  1. U=U(V, p)

\boxed{\begin{array}{l} \left(\dfrac{\partial U}{\partial p}\right)_{V}=\dfrac{\kappa_{T}}{\alpha} C_{V}\\ \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{p}=\dfrac{C_{p}}{V{\alpha}}-p \end{array}}

  1. U=U(\theta, p)

\boxed{\begin{array}{l} \left(\dfrac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{p}=C_{p}-p V\alpha \\ \left(\dfrac{\partial U}{\partial p}\right)_{\theta}=-\dfrac{\kappa_{T}}{\alpha}\left(C_{p}-C_{V}\right)+p V \kappa_{T} \end{array}}



\boxed{C_{p}-C_{V}=-T\left[\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\right]^{2}\left(\dfrac{\partial p}{\partial V}\right)_{T}}



Iruzkinak:

  • Lehenengo printzipioaren adierazpen infinitesimala nahi den aldagai termodinamikoren bikotearen funtzioan lortzea da adierazpen horiek ondorioztatzearen helburua

  • lortzen den adierazpena ez da funtzio baten diferentziala (beroa ez baita diferentzial zehatza) baizik eta diferentzialen batura

  • horrexegatik aurreko adierazpenetan gezia idatzi da

  • nahiz eta lortutako adierazpenean = berdintza ikurra idazten den

  • Korolario moduan: horietako edozein adierazpenen ondorioztatzean lortzen da barne-energiaren barneko egitura, hots, aukeratutako aldagai termodinamikoen bikote horretako aldagaiekiko barne-energiaren mendekotasuna

  • honako adierazpen hau erabat orokorra da sistema hidrostatikoen kasuan:

    \left(\left(\frac{\delta Q}{d T}\right)_V=\right)\boxed{C_{V}\equiv\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V}


  • hau da: V konstanteko bero-ahalmena da barne-energiaren tenperaturarekiko deribatu partziala bolumena konstante mantenduz burutuz gero prozesua

    • Jakina, bolumena konstantea bada, (masa konstanteko) sistema hidrostatikoak askatasun-gradu termikoa baino ezin du erabili (bolumena finkatzeak izozten du mekanikoa) eta, beraz, energia-edukia aldatzeko duen modu bakarra da bero trukatzea…

    • Horixe da, hain zuzen ere, C_{V} bero-ahalmenak esaten duena: nolakoa den sistemaren portaera/jokabide termikoa bolumena konstantea denean

    • kontuz: horrek guztiak ez du esan nahi honako hau beteko denik, C_{p}\equiv\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_p, egia dena honako hau da:

      \boxed{C_{p}\ne\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_p}

    Presioa konstante mantentzen bada, sistemari energia (bero moduan) ematen bazaio, sistemak bi askatasun-gradu erabil daitezke, termikoa (energia ematen zaio) eta mekanikoa (presioa konstante mantentzeko, orokorrean, bolumena aldatu behar baita eta, gainera, presioa konstante mantentzeko ingurunearekin ukipen mekanikoan egon behar du sistemak)


  • Adierazpen horiek guztiek balio dute:

    edozein sistemaren kasuan (bi askatasun-gradu independenteko, termikoa eta beste bat (X,Y)) sistemari dagokion adierazpena lortu da), edozein prozesuren kasuan (edozein aldagai termodinamikoren bikoteen funtzioan lortu da adierazpena), edozer lortzeko (trukatutako beroa, egindako lana edo/eta gertatu den barne-energiaren aldaketa)

    Edozer lortzeko, erabil ezazu prozesuan konstante dirauen aldagaia (horrelakorik egotekotan, behintzat), horrela, aldagai horrekin lotutako atalak ez baitu ekarpenik egingo adierazpenean





Iruzkinak:

  • Horien bidez, honako informazio hau ezagutzen da:

    • bi askatasun-graduko, termikoa eta beste bat (orokorrean (Y,X) bikotearen bidez adierazita), edozein sistemaren kasuan, bi askatasun-graduak martxan jarrita daudela, sistemari gerta dakiokeen prozesurik orokorrenean, zenbatekoa den sistemak berak trukatzen duen beroa…
    • edo gertatu zaion barne-energiaren aldaketa…
    • edo egin duen lana…ekuazioa adierazten den moduaren arabera


  • Prozesua adierazteko gure esku dago aldagai independenteen bikotea aukeratzea:

    • prozesuak berak finkatu ditu gehienetan, aldatzen direnak aukeratu behar dira prozesua adierazteko
    • aukera oso ona da prozesuan konstante diruen aldagai bera aldagai independenteen sortan sartzea, konstantea denez, bere d-aldaketa diferentziala nulua izango baita eta, ondorioz, integratu beharreko ekuazioa errazten da


  • Mayer-en erlazioa aipatu, askatasun-graduak termikoa eta mekanikoa direnean (masa konstanteko sistema hidrostatikoa):

C_{p} - C_{V} = TV\frac{\alpha^{2}}{\kappa_{T}}


  • Adierazpen hori beste modu honetan idatz daiteke, zeinean ez diren erabiltzen koefiziente esperimentalak, baizik eta deribatu partzialak:

C_{p} - C_{V} = T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V


  • Mayer-en erlazioa aipatu, askatasun-graduak termikoa eta beste bat direnean (masa konstanteko sistema):

C_{Y} - C_{X} = -T \left(\frac{\partial X}{\partial T}\right)_Y \left(\frac{\partial Y}{\partial T}\right)_X


  • Zalantza argitu:

    • aztergai den sistema adiabatikoki isolatuta egoteak ez du esan nahi sistemak ezin duenik egoera termikoa aldatu:
      • \delta Q= 0 \Rightarrow dT= 0, ez da egia
    • aztergai den sistemaren tenperatura aldatzeko ez da beharrezkoa soilik beroa trukatzea:
      • dT \neq 0 \Rightarrow \delta Q \neq 0, ez da egia