1. ARIKETA
Aztertu beharreko gasaren presio konstanteko bero-ahalmen molarraren tenperaturarekiko mendekotasuna honako ekuazio honek adierazi du:
c_{p}=a+b\, \theta-\frac{c}{\theta^{2}}
Adierazpen horretan, a, b eta c konstanteak dira.
Aipatutako gasaren n molei presio konstanteko prozesu bat eragin diegu, \theta_{i} hasierako tenperaturatik eta \theta_{f} bukaerako tenperaturaraino: zenbat bero trukatu da?
Prozesuan trukatutako beroa honako hau da:
\boxed{Q = n \left[ a(\theta_f - \theta_i) + \frac{b}{2}(\theta_f^2 - \theta_i^2) + c\left(\frac{1}{\theta_f} - \frac{1}{\theta_i}\right) \right]}
Ariketa honen helburua da presio konstanteko prozesu batean trukatutako beroa kalkulatzea, sistemaren bero-ahalmen molarra tenperaturaren funtzio ezaguna denean.
1. Urratsa: Estrategia - Oinarrizko Printzipioak
Presio konstantean (p=kte) gertatzen denez prozesua, trukatutako beroa (Q) bero-ahalmenaren (C_p) bidez kalkula daiteke, tenperaturarekiko integratuz. Bero-ahalmena sistema osoari dagokio (C_p), eta ariketak emandakoa bero-ahalmen molarra (c_p) denez, n mol kopuruarekin biderkatu behar da: C_p = n \cdot c_p Beraz, trukatutako beroa kalkulatzeko erabili beharreko adierazpen integrala honako hau da: Q = \Delta H = \int_{\theta_i}^{\theta_f} n \cdot c_p(\theta) \,d\theta
Estrategia, beraz, argia da: ariketak emandako c_p-ren adierazpena goiko integralean ordezkatu, eta hasierako eta bukaerako tenperaturen artean integratzea.
2. Urratsa: Bero-trukearen Kalkulu Integrala
Lehenengo urratsean ezarritako adierazpenetik abiatuko gara, eta c_p-ren funtzioa ordezkatuko dugu: Q = \int_{\theta_i}^{\theta_f} n \left( a + b\theta - \frac{c}{\theta^2} \right) d\theta
Eta, n mol kopurua konstantea denez, integraletik kanpora atera daiteke: Q = n \int_{\theta_i}^{\theta_f} \left( a + b\theta - c\theta^{-2} \right) d\theta
Orain, integrala atalez atal ebatziko dugu.
3. Urratsa: Integrazioa eta Emaitzaren Garapena
Integrazioa eginez: Q = n \left[ \int a\,d\theta + \int b\theta\,d\theta - \int c\theta^{-2}\,d\theta \right]_{\theta_i}^{\theta_f} Q = n \left[ a\theta + \frac{b\theta^2}{2} - \frac{c\theta^{-1}}{-1} \right]_{\theta_i}^{\theta_f} = n \left[ a\theta + \frac{b\theta^2}{2} + \frac{c}{\theta} \right]_{\theta_i}^{\theta_f}
Orain, Barrow-ren erregela aplikatuko dugu, hau da, emaitza integrazio-mugetan ebaluatuko dugu: Q = n \left\{ \left( a\theta_f + \frac{b\theta_f^2}{2} + \frac{c}{\theta_f} \right) - \left( a\theta_i + \frac{b\theta_i^2}{2} + \frac{c}{\theta_i} \right) \right\} Azkenik, adierazpena berrantolatzen dugu konstante bakoitzari dagozkion terminoak elkartuz, emaitza argiagoa eta ordenatuagoa lortzeko: Q = n \left[ a(\theta_f - \theta_i) + \frac{b}{2}(\theta_f^2 - \theta_i^2) + c\left(\frac{1}{\theta_f} - \frac{1}{\theta_i}\right) \right]
Hori da prozesuan zehar sistemak trukatutako bero-kantitate osoa.
2. ARIKETA
Metal baten tenperatura txikietako bero-ahalmen molarraren tenperaturarekiko mendekotasuna honako ekuazio honek adierazi du:
c=\frac{a}{\Theta^3}\, \theta^3+b\, \theta
Adierazpen horretan, a, \Theta eta b konstanteak dira.
Demagun metalaren tenperatura 0.01\, \Theta-tik 0.02\, \Theta-ra aldatu dugula; zenbat bero trukatu da?
Metalaren mol bakoitzeko trukatutako beroa honako hau da:
\boxed{q = (3.75 \times 10^{-8}) a\Theta + (1.5 \times 10^{-4}) b\Theta^2}
Ariketa honen helburua da substantzia batek xurgatutako edo askatutako bero-kantitatea kalkulatzea, bere bero-ahalmen molarra tenperaturaren funtzio gisa ezagutzen denean.
1. Urratsa: Estrategia - Oinarrizko Printzipioak
Bero-trukea (Q) sistema baten tenperatura aldatzen denean, bero-ahalmena (C) tenperaturarekiko integratuz kalkulatzen da. Solidoen kasuan, prozesua presio edo bolumen konstantean gertatzen den zehaztu gabe, trukatutako beroaren adierazpen diferentziala honakoa da: dQ = C(\theta) \,d\theta
Ariketak bero-ahalmen molarra (c) ematen duenez, eta substantzia-kantitatea zehazten ez duenez, mol bakoitzeko trukatutako beroa (q) kalkulatuko dugu. Horretarako, c(\theta) adierazpena hasierako eta bukaerako tenperaturen artean integratu behar dugu: q = \frac{Q}{n} = \int_{\theta_i}^{\theta_f} c(\theta) \,d\theta
Integrazio-mugak hauek dira: \theta_i = 0.01\, \Theta eta \theta_f = 0.02\, \Theta.
2. Urratsa: Bero-trukearen Kalkulu Integrala
Lehenengo urratsean ezarritako adierazpenean c(\theta)-ren funtzioa eta integrazio-mugak ordezkatuko ditugu: q = \int_{0.01\Theta}^{0.02\Theta} \left( \frac{a}{\Theta^3}\theta^3 + b\theta \right) d\theta
Integrala lineala denez, terminoa terminoa integra dezakegu.
3. Urratsa: Integrazioa eta Emaitzaren Garapena
Lehenik, integral mugagabea ebatziko dugu: \int \left( \frac{a}{\Theta^3}\theta^3 + b\theta \right) d\theta = \frac{a}{\Theta^3} \frac{\theta^4}{4} + \frac{b\theta^2}{2}
Orain, emaitza integrazio-mugetan ebaluatuz: q = \left[ \frac{a}{4\Theta^3}\theta^4 + \frac{b\theta^2}{2} \right]_{0.01\Theta}^{0.02\Theta} q = \left( \frac{a}{4\Theta^3}(0.02\Theta)^4 + \frac{b}{2}(0.02\Theta)^2 \right) - \left( \frac{a}{4\Theta^3}(0.01\Theta)^4 + \frac{b}{2}(0.01\Theta)^2 \right)
Atalak berrantolatzen ditugu, kalkulua errazteko: q = \frac{a}{4\Theta^3} \left[ (0.02\Theta)^4 - (0.01\Theta)^4 \right] + \frac{b}{2} \left[ (0.02\Theta)^2 - (0.01\Theta)^2 \right]
4. Urratsa: Sinplifikazioa eta Azken Emaitza
Bi atalak banaka sinplifikatuko ditugu:
Lehen atala (a-ri dagokiona): \frac{a}{4\Theta^3} \left[ (0.02^4)\Theta^4 - (0.01^4)\Theta^4 \right] = \frac{a\Theta}{4} \left[ (16 \times 10^{-8}) - (1 \times 10^{-8}) \right] = \frac{a\Theta}{4} (15 \times 10^{-8}) = 3.75 \times 10^{-8} a\Theta
Bigarren atala (b-ri dagokiona): \frac{b}{2} \left[ (0.02^2)\Theta^2 - (0.01^2)\Theta^2 \right] = \frac{b\Theta^2}{2} \left[ (4 \times 10^{-4}) - (1 \times 10^{-4}) \right] = \frac{b\Theta^2}{2} (3 \times 10^{-4}) = 1.5 \times 10^{-4} b\Theta^2
Bi emaitzak batuz, mol bakoitzeko trukatutako bero osoa lortuko dugu: q = 3.75 \times 10^{-8} a\Theta + 1.5 \times 10^{-4} b\Theta^2
Hori da prozesuan zehar metalaren mol bakoitzak trukatutako bero-kantitatea.
3. ARIKETA
Aztertuko dugun gasaren mol bati dagokion egoera-ekuazioa honako hau da:
\left(p+\frac{a}{v^2}\right)(v-b)=R\, \theta
Adierazpen horretan, v da bolumen molarra. Gainera, gasaren barne-energia molarraren adierazpena hauxe da:
u=c\, \theta-\frac{a}{v}
Adierazpen horretan, a, b eta c konstanteak dira.
Lortu bero-ahalmen molarrak: c_{p} eta c_{v}
Gasaren bero-ahalmen molarrak honako hauek dira:
Bolumen konstantean: \boxed{c_v = c}
Presio konstantean: \boxed{c_p = c + R \left( 1 - \frac{2a(v-b)^2}{R\theta v^3} \right)^{-1}}
Ariketa honen helburua da gas erreal baten (van der Waals gasa) bero-ahalmen molarrak, c_v eta c_p, kalkulatzea, haien oinarrizko definizio termodinamikoetatik, eta emandako egoera-ekuazioetatik abiatuta.
1. Zatia: c_v bero-ahalmen molarraren kalkulua
1. Urratsa: Estrategia eta Definizioa
Bolumen konstanteko bero-ahalmen molarra (c_v) barne-energia molarraren (u) tenperaturarekiko deribatu partzial gisa definitzen da, bolumena konstante mantenduz, sistema hidrostatikoa denez: c_v = \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)_v
Ariketak u-ren adierazpen esplizitua ematen duenez, u = c\theta - \frac{a}{v}, deribazioa zuzena da.
2. Urratsa: Deribazioa
Aplikatu dezagun definizioa emandako u-ren adierazpenari: c_v = \frac{\partial}{\partial \theta}\left(c\theta - \frac{a}{v}\right)_v
Deribatu partziala \theta-rekiko egiten denez, v bolumen molarra konstante gisa hartuko da. Beraz, \frac{a}{v} atal konstantea da deribazio honetarako, eta haren deribatua zero da. c_v = \frac{\partial}{\partial \theta}(c\theta)_v - \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{a}{v}\right)_v = c \cdot 1 - 0 Honela, lehen emaitza lortzen dugu: c_v = c
2. Zatia: c_p bero-ahalmen molarraren kalkulua
1. Urratsa: Estrategia eta Definizioa
Presio konstanteko bero-ahalmen molarraren (c_p) definizioa honako hau da: c_p = \left(\frac{đq}{d\theta}\right)_p
Termodinamikako lehenengo legearen arabera, prozesu itzulgarri baterako, đq = du + p\,dv. Adierazpen hori definizioan ordezkatuz: c_p = \left(\frac{du + p\,dv}{d\theta}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)_p + p\left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p
Hau da gure abiapuntua. Bi deribatu partzial horiek kalkulatu behar ditugu.
2. Urratsa: \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)_p deribatuaren kalkulua
Barne-energia u(\theta, v) funtzioa da. Bere diferentzial osoa honako hau da: du = \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)_v d\theta + \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_\theta dv
Ekuazio osoa d\theta-rekin zatituz, eta presio konstantearen baldintza ezarriz, honako hau lortuko dugu: \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)_v + \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_\theta \left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p
Ohartu \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)_v = c_v = c dela.
Beraz: \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)_p = c + \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_\theta \left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p
Adierazpen hori lehen urratseko c_p-ren ekuazioan ordezkatuz: c_p = \left[ c + \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_\theta \left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p \right] + p\left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p
Eta atalak berrantolatuz, c_p eta c_v-ren arteko erlazio orokorra lortuko dugu: c_p = c_v + \left[ p + \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_\theta \right] \left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p
3. Urratsa: Beharrezko deribatuen kalkulua
Erlazio horretan agertzen diren atalak kalkulatu behar ditugu:
c_v = c (lehenago kalkulatua).
\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_\theta: u = c\theta - a/v adierazpenetik: \left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_\theta = \frac{\partial}{\partial v}\left(c\theta - \frac{a}{v}\right)_\theta = \frac{a}{v^2}
\left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p: Deribatu hori egoera-ekuaziotik lortuko dugu, deribazio inplizituaren bidez: \left(p+\frac{a}{v^2}\right)(v-b)=R\theta
Ekuazioa \theta-rekiko deribatuko dugu (p konstante): \frac{\partial}{\partial\theta}\left[\left(p+\frac{a}{v^2}\right)\right]_p (v-b) + \left(p+\frac{a}{v^2}\right) \frac{\partial}{\partial\theta}\left[(v-b)\right]_p = R \left(-\frac{2a}{v^3}\left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p\right) (v-b) + \left(p+\frac{a}{v^2}\right) \left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p = R \left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p bakanduz: \left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p \left[ \left(p+\frac{a}{v^2}\right) - \frac{2a(v-b)}{v^3} \right] = R \left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p = \frac{R}{p+\frac{a}{v^2} - \frac{2a(v-b)}{v^3}}
4. Urratsa: Azken emaitzaren lanketa
Orain, kalkulatutako atal guztiak 2. urratseko erlazio orokorrean ordezkatuz: c_p = c + \left[ p + \frac{a}{v^2} \right] \left( \frac{R}{p+\frac{a}{v^2} - \frac{2a(v-b)}{v^3}} \right)
Adierazpen hori sinplifikatu dezakegu. Zenbakitzailean eta izendatzailean (p+\frac{a}{v^2}) terminoa dugu: c_p = c + R \frac{p+\frac{a}{v^2}}{p+\frac{a}{v^2} - \frac{2a(v-b)}{v^3}} c_p = c + R \left( 1 - \frac{\frac{2a(v-b)}{v^3}}{p+\frac{a}{v^2}} \right)^{-1}
Egoera-ekuaziotik badakigu p+\frac{a}{v^2} = \frac{R\theta}{v-b}. Ordezkapen hori eginez izendatzaileko zatikian: c_p = c + R \left( 1 - \frac{\frac{2a(v-b)}{v^3}}{\frac{R\theta}{v-b}} \right)^{-1} = c + R \left( 1 - \frac{2a(v-b)^2}{R\theta v^3} \right)^{-1} Hau da c_p-ren adierazpen zehatza, c, v eta \theta aldagaien menpekoa.
4. ARIKETA
Solido monoatomiko baten egoera-ekuazioetako bat honako hau da:
p\,v + f(v)=\Gamma\left(u-u_{0}\right)
Adierazpen horretan, v da bolumen molarra; eta \Gamma eta u_0, konstanteak.
Frogatu honako hau:
\Gamma=\frac{\alpha\, v}{c_{V}\, \kappa_{T}}
Adierazpen horretan, \alpha zabalkuntza-koefiziente isobarikoa da eta \kappa_{T} konprimigarritasun-koefiziente isotermoa.
Grüneisen-ek lortu zuen lehen aldiz ekuazio hori.
Egoera-ekuazioa eta koefiziente termodinamikoen definizioak erabiliz, frogatzen da:
\boxed{\Gamma = \frac{\alpha v}{c_V \kappa_T}}
Frogapen honen helburua da \Gamma Grüneisenen parametroa koefiziente termodinamiko neurgarrien (\alpha, c_V, \kappa_T) funtzioan adieraztea, emandako egoera-ekuazioa abiapuntutzat hartuta.
1. Urratsa: Estrategia - Definizio Termodinamikoak
Grüneisenen parametroa, \Gamma, erlaziorako beharrezkoak diren koefiziente termodinamikoak banan-banan kalkulatzean datza estrategia. Horretarako, haien definizio matematikoak eta emandako egoera-ekuazioa erabiliko ditugu. Behar ditugun definizioak honako hauek dira:
Bolumen konstanteko bero-ahalmen molarra: c_V = \left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)_v
Zabalkuntza-koefiziente isobarikoa: \alpha = \frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p
Konprimigarritasun-koefiziente isotermoa: \kappa_T = -\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_\theta
Lehenik, egoera-ekuazioa deribatuko dugu c_V-rekin lotutako deribatu bat lortzeko. Ondoren, deribatu partzialen arteko erlazio matematikoa erabiliko dugu, \alpha eta \kappa_T sartzeko.
2. Urratsa: c_V-ren adierazpena lortzea
Hasteko, emandako egoera-ekuazioa \theta-rekiko deribatuko dugu, bolumen konstantean (v=kte): \frac{\partial}{\partial \theta}\left[pv + f(v)\right]_v = \frac{\partial}{\partial \theta}\left[\Gamma(u - u_0)\right]_v
Egin dezagun deribazioa atalez atal:
Ezkerreko aldean, v eta f(v) konstanteak dira deribazioan: \frac{\partial}{\partial \theta}\left[pv + f(v)\right]_v = v\left(\frac{\partial p}{\partial \theta}\right)_v + 0 = v\left(\frac{\partial p}{\partial \theta}\right)_v
Eskuineko aldean, \Gamma eta u_0 konstanteak dira: \frac{\partial}{\partial \theta}\left[\Gamma(u - u_0)\right]_v = \Gamma\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)_v - 0 = \Gamma c_V
Bi aldeak berdinduz, lehenengo erlazio garrantzitsua lortuko dugu: v\left(\frac{\partial p}{\partial \theta}\right)_v = \Gamma c_V \quad \implies \quad \left(\frac{\partial p}{\partial \theta}\right)_v = \frac{\Gamma c_V}{v}
3. Urratsa: Deribatu Partzialen arteko Erlazioa (\alpha eta \kappa_T sartzeko)
Orain, \alpha eta \kappa_T erlazioan sartu behar ditugu. Hiru aldagai (p, v, \theta) dituen edozein sistematan, deribatu partzialen arteko erlazio ziklikoaren arabera honako hau dugu: \left(\frac{\partial p}{\partial \theta}\right)_v \left(\frac{\partial \theta}{\partial v}\right)_p \left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_\theta = -1
Erlazio hori berrantola dezakegu \left(\frac{\partial p}{\partial \theta}\right)_v bakantzeko: \left(\frac{\partial p}{\partial \theta}\right)_v = - \frac{1}{\left(\frac{\partial \theta}{\partial v}\right)_p \left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_\theta} = - \frac{\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_\theta}{\left(\frac{\partial \theta}{\partial v}\right)_p} = \frac{\left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p}{-\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_\theta}
Orain, adierazpen horretan \alpha eta \kappa_T-ren definizioak erabil ditzakegu:
- \left(\frac{\partial v}{\partial \theta}\right)_p = v\alpha
- \left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_\theta = -v\kappa_T
Horiek ordezkatuz: \left(\frac{\partial p}{\partial \theta}\right)_v = \frac{v\alpha}{-(-v\kappa_T)} = \frac{v\alpha}{v\kappa_T} = \frac{\alpha}{\kappa_T}
Erlazio hori oso emaitza orokorra eta garrantzitsua da termodinamikan.
4. Urratsa: Frogapenaren Amaiera
Orain, bi adierazpen ditugu \left(\frac{\partial p}{\partial \theta}\right)_v:
- Bigarren urratsetik (egoera-ekuaziotik): \left(\frac{\partial p}{\partial \theta}\right)_v = \frac{\Gamma c_V}{v}
- Hirugarren urratsetik (erlazio orokorretik): \left(\frac{\partial p}{\partial \theta}\right)_v = \frac{\alpha}{\kappa_T}
Bi adierazpenak berdinak izan behar direnez, elkarrekin berdindu ditzakegu: \frac{\Gamma c_V}{v} = \frac{\alpha}{\kappa_T}
Azkenik, \Gamma bakanduko dugu eskatutako adierazpena lortzeko: \Gamma = \frac{\alpha v}{c_V \kappa_T}
5. ARIKETA
Gas paramagnetiko baten kasuan, lortu:
- honako adierazpen hau:
đQ=\left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V, M} d \theta+\left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{M, \theta}+p\right] d V+\left[\left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{\theta, V}-\mu_0 H\right] d M
- bero-ahalmenen adierazpenak: C_{V,M}, C_{V,H}, C_{p,M} eta C_{p,H}
Bero-ahalmenak honako hauek dira:
- \boxed{C_{V,M} = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V,M}}
- \boxed{C_{V,H} = C_{V,M} + \left[ \left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{\theta,V} - \mu_0 H \right] \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_{V,H}}
- \boxed{C_{p,M} = C_{V,M} + \left[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{\theta,M} + p \right] \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{p,M}}
- \boxed{C_{p,H} = C_{V,M} + \left[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{\theta,M} + p \right] \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{p,H} + \left[ \left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{\theta,V} - \mu_0 H \right] \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_{p,H}}
Ariketa honek sistema termodinamiko konplexuago bat aztertzen du: gas paramagnetiko bat. Sistema honen egoera deskribatzeko, aldagai (termodinamiko) mekanikoez (p, V, \theta) gain, aldagai (termodinamiko) magnetikoak (H eremu magnetikoa, M magnetizazioa) ere behar dira.
1. Zatia: đQ-ren adierazpenaren frogapena
1. Urratsa: Estrategia - Lehen Printzipioa eta Lanaren Adierazpena
Termodinamikako lehen printzipioaren arabera, barne-energiaren aldaketa (dU) sistemak trukatutako beroaren (đQ) eta sistemari egindako lanaren (đW) batura da: dU = đQ + đW \implies đQ = dU - đW
Sistema honetan, bi lan-mota daude:
- Lan mekanikoa (konpresio/espantsio): đW_{mek} = -p\,dV
- Lan magnetikoa: đW_{mag} = \mu_0 H\,dM
Beraz, sistemari egindako lan osoa bi atalen batura da: đW = đW_{mek} + đW_{mag} = -p\,dV + \mu_0 H\,dM Bestalde, sistema paramagnetiko baten barne-energia (U) hiru aldagai independenteren funtzioa da. Ariketaren egiturak iradokitzen duenez, komenigarria da \theta, V eta M aldagaiak aukeratzea: U = U(\theta, V, M).
Estrategia da, beraz, U(\theta, V, M)-ren diferentzial osoa kalkulatzea eta, ondoren, đQ = dU - đW adierazpenean ordezkatzea.
2. Urratsa: Barne-Energiaren Diferentzial Osoa
U = U(\theta, V, M) funtzioaren diferentzial osoa honako hau da: dU = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V,M} d\theta + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{\theta,M} dV + \left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{\theta,V} dM
Azpi-indizeek adierazten dute zein aldagai mantentzen diren konstante deribazio partziala egitean.
3. Urratsa: Ordezkapena eta Azken Adierazpena
Orain, dU eta đW-ren adierazpenak lehen printzipioaren ekuazioan sartuko ditugu: đQ = \left[ \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V,M} d\theta + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{\theta,M} dV + \left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{\theta,V} dM \right] - \left[ -p\,dV + \mu_0 H\,dM \right]
Parentesiak kendu, eta atalak diferentzialen arabera berrantolatuz: đQ = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V,M} d\theta + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{\theta,M} dV + p\,dV + \left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{\theta,V} dM - \mu_0 H\,dM
Azkenik, dV eta dM diferentzialen faktore komunak ateraz, eskatutako adierazpena lortuko dugu: đQ=\left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V, M} d \theta+\left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{\theta, M}+p\right] d V+\left[\left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{\theta, V}-\mu_0 H\right] d M
2. Zatia: Bero-ahalmenen adierazpenak
Bero-ahalmenen definizio orokorra C_x = \left(\frac{đQ}{d\theta}\right)_x da, adierazpen horretan x dira prozesuan konstante mantentzen diren aldagaiak. Lehen zatian lortutako đQ-ren adierazpen orokorra erabiliko dugu kasu bakoitzerako.
1. C_{V,M} (Bolumena eta Magnetizazioa konstante)
- Baldintzak: dV=0 eta dM=0.
- đQ-ren adierazpenean, bigarren eta hirugarren terminoak deuseztatzen dira: (đQ)_{V,M} = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V,M} d\theta
- d\theta-rekin zatituz: C_{V,M} = \frac{(đQ)_{V,M}}{d\theta} = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V,M}
2. C_{V,H} (Bolumena eta Eremu Magnetikoa konstante)
- Baldintzak: dV=0 eta dH=0.
- Kasu honetan, dM \neq 0, magnetizazioa tenperaturarekin alda daitekeelako. Beraz, M=M(\theta,V,H) funtzioaren aldaketa kontuan hartu behar dugu. Presioa V eta H konstante direnez, dM = \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_{V,H} d\theta.
- đQ-ren adierazpenean dV=0 eta dM-ren adierazpena ordezkatuko ditugu: (đQ)_{V,H} = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V,M} d\theta + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{\theta,V} - \mu_0 H\right] \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_{V,H} d\theta
- d\theta-rekin zatituz, eta C_{V,M} erabiliz sinplifikatzeko: C_{V,H} = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V,M} + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{\theta,V} - \mu_0 H\right] \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_{V,H} = C_{V,M} + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{\theta,V} - \mu_0 H\right] \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_{V,H}
3. C_{p,M} (Presioa eta Magnetizazioa konstante)
- Baldintzak: dp=0 eta dM=0.
- Kasu honetan, dV \neq 0. Bolumena tenperaturarekin aldatzen da presioa konstante denean. Beraz, dV = \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{p,M} d\theta.
- đQ-ren adierazpenean dM=0, eta dV-ren adierazpena ordezkatuko ditugu: (đQ)_{p,M} = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V,M} d\theta + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{\theta,M} + p\right] \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{p,M} d\theta
- d\theta-rekin zatituz, eta sinplifikatuz: C_{p,M} = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V,M} + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{\theta,M} + p\right] \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{p,M} = C_{V,M} + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{\theta,M} + p\right] \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{p,M}
4. C_{p,H} (Presioa eta Eremu Magnetikoa konstante)
Baldintzak: dp=0 eta dH=0.
Hau da kasurik orokorrena: tenperatura aldatzean, bai bolumena bai magnetizazioa aldatzen dira.
- dV = \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{p,H} d\theta
- dM = \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_{p,H} d\theta
Bi adierazpen hauek đQ-ren ekuazio orokorrean ordezkatzen ditugu: (đQ)_{p,H} = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{V,M} d\theta + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{\theta,M} + p\right] \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{p,H} d\theta + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{\theta,V} - \mu_0 H\right] \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_{p,H} d\theta
d\theta-rekin zatituz, azken bero-ahalmena lortzen dugu: C_{p,H} = C_{V,M} + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{\theta,M} + p\right] \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{p,H} + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial M}\right)_{\theta,V} - \mu_0 H\right] \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_{p,H}
6. ARIKETA
Lortu taulako adierazpenak:
| Sistema | Aldagai estentsibo konstanteko bero-ahalmena | Aldagai intentsibo konstanteko bero-ahalmena |
|---|---|---|
| Sistema elastikoa: luzatutako burdin haria | C_{L}=\left(\dfrac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{L} | C_{\tau}=\left(\dfrac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{\tau}-\tau L \alpha_L |
| Solido paramagnetiko: Curie-ren egoera-ekuazioa betetzen du | C_{M}=\left(\dfrac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{M} | C_{H}=\left(\dfrac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{H}+\dfrac{M^2}{C_{C}^{\prime}} |
Curie-ren egoera-ekuazioa honako hau da: M = \dfrac{C_{C}^{\prime}}{\theta} \,H; Zemansky liburuko [2-13] ekuazioa.
Ariketa honetan, bi sistema termodinamiko desberdinen bero-ahalmenak lortuko ditugu, haien oinarrizko definizioetatik abiatuta. Kasu bakoitzean, Termodinamikako lehen printzipioaren adierazpen egokia erabiliko dugu, sistemari egindako lana kontuan hartzeko.
1. Zatia: Sistema Elastikoa (Burdin Haria)
Sistema honen egoera-aldagaiak tentsioa (\tau), luzera (L) eta tenperatura (\theta) dira; eta sistemak egindako lana, đW = \tau dL.
1.1. C_L (Luzera konstanteko bero-ahalmena)
1. Urratsa: Estrategia eta Definizioa
Bero-ahalmenaren definizio orokorra: C = \frac{đQ}{d\theta}. Luzera konstantean (dL=0), honela idatziko dugu: C_L = \left(\frac{đQ}{d\theta}\right)_L
Termodinamikako lehen printzipioaren arabera, đQ = dU - đW = dU - \tau dL.
2. Urratsa: Frogapena
Lehen printzipioaren adierazpena definizioan ordezkatuz: C_L = \left(\frac{dU - \tau dL}{d\theta}\right)_L = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_L - \tau \left(\frac{\partial L}{\partial \theta}\right)_L
Konstante mantentzen denez L, \left(\frac{\partial L}{\partial \theta}\right)_L = 0. Beraz, bigarren atala desagertuko da: \boxed{C_L = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_L}
1.2. C_{\tau} (Tentsio konstanteko bero-ahalmena)
1. Urratsa: Estrategia eta Definizioa
Tentsio konstantean (d\tau=0), bero-ahalmenaren definizioa honakoa da: C_\tau = \left(\frac{đQ}{d\theta}\right)_\tau
Berriro ere, lehen printzipioa erabiliko dugu: đQ = dU - \tau dL.
2. Urratsa: Frogapena
Adierazpenak konbinatuz: C_\tau = \left(\frac{dU - \tau dL}{d\theta}\right)_\tau = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_\tau - \tau \left(\frac{\partial L}{\partial \theta}\right)_\tau
Adierazpen hau taulakoarekin alderatzeko, \left(\frac{\partial L}{\partial \theta}\right)_\tau deribatua ezagutu behar dugu. Atal hori zabalkuntza termiko linealeko koefizientearekin (\alpha_L) erlazionatuta dago. Koefiziente horren definizioa honako hau da: \alpha_L = \frac{1}{L} \left(\frac{\partial L}{\partial \theta}\right)_\tau
Hortik, deribatua bakandu dezakegu: \left(\frac{\partial L}{\partial \theta}\right)_\tau = L \alpha_L
Emaitza hori C_\tau-ren adierazpenean ordezkatuz, taulako emaitza lortuko dugu: \boxed{C_\tau = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_\tau - \tau L \alpha_L}
2. Zatia: Solido Paramagnetikoa (Curie-ren Legea)
Sistema honen egoera-aldagaiak eremu magnetikoa (H), magnetizazioa (M) eta tenperatura (\theta) dira. Sistemari egindako lan magnetikoa đW = H dM da (oharra: unitate sistema batzuetan \mu_0 faktorea agertzen da, baina problema termodinamikoetan sarritan sinplifikatzen da).
2.1. C_M (Magnetizazio konstanteko bero-ahalmena)
1. Urratsa: Estrategia eta Definizioa
Magnetizazio konstantean (dM=0), bero-ahalmenaren definizioa hauxe da: C_M = \left(\frac{đQ}{d\theta}\right)_M
Lehen printzipioa: đQ = dU - đW = dU - H dM.
2. Urratsa: Frogapena
Bi adierazpenak konbinatuz: C_M = \left(\frac{dU - H dM}{d\theta}\right)_M = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_M - H \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_M M konstante denez, \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_M = 0. Beraz: \boxed{C_M = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_M}
2.2. C_H (Eremu Magnetiko konstanteko bero-ahalmena)
1. Urratsa: Estrategia eta Definizioa
Eremu magnetiko konstantean (dH=0), bero-ahalmena hauxe da: C_H = \left(\frac{đQ}{d\theta}\right)_H
Berriro, lehen printzipioa erabiliko dugu: đQ = dU - H dM.
2. Urratsa: Frogapena Adierazpenak konbinatuz: C_H = \left(\frac{dU - H dM}{d\theta}\right)_H = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_H - H \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_H
Orain, \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_H deribatua kalkulatu behar dugu, emandako Curie-ren egoera-ekuazioa erabiliz: M = \frac{C_C'}{\theta} H
\theta-rekiko deribatuko dugu, H konstante mantenduz: \left(\frac{\partial M}{\partial \theta}\right)_H = \frac{\partial}{\partial \theta}\left(C_C' H \theta^{-1}\right)_H = C_C' H (-1 \cdot \theta^{-2}) = -\frac{C_C' H}{\theta^2}
Emaitza hori C_H-ren adierazpenean ordezkatzen dugu: C_H = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_H - H \left(-\frac{C_C' H}{\theta^2}\right) = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_H + \frac{C_C' H^2}{\theta^2}
Adierazpen azken hori taulakoarekin bat datorrela egiaztatzeko, Curie-ren ekuazioa berrerabiliko dugu. Ekuaziotik, H = \frac{M\theta}{C_C'} bakandu dezakegu, eta goiko adierazpenean, ordezkatu: \frac{C_C' H^2}{\theta^2} = \frac{C_C'}{\theta^2} \left(\frac{M\theta}{C_C'}\right)^2 = \frac{C_C'}{\theta^2} \frac{M^2 \theta^2}{(C_C')^2} = \frac{M^2}{C_C'}
Beraz, azken adierazpena honako hau da: \boxed{C_H = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_H + \frac{M^2}{C_C'}} Honek taulako azken adierazpena frogatzen du.